数学建模常用算法—模糊综合评价法(FCE)
数学建模常用算法—模糊综合评价法(FCE)
模糊综合评价法是一种在模糊环境下进行多因素综合评价的方法，广泛应用于数学建模和数据分析领域。本文将详细介绍模糊综合评价法的原理、步骤及其在企业员工考核中的应用。
解决问题
模糊综合评价法是在模糊环境下,考虑了多因素的影响,为了某种目的对一事物作出综合决策的方法。
优点
模糊综合评价法具有结果清晰，系统性强的特点，能较好地解决模糊的、难以量化的问题，适合各种非确定性问题的解决。
缺点
- 计算复杂，对指标权重矢量的确定主观性较强。
- 当指标集U较大，即指标集个数凡较大时，在权矢量和为1的条件约束下，相对隶属度权系数往往偏小，权矢量与模糊矩阵R不匹配，结果会出现超模糊现象，分辨率很差，无法区分谁的隶属度更高，甚至造成评判失败，此时可用分层模糊评估法加以改进。
一般步骤
以企业员工考核为例
1. 建立综合评价的因素集
因素集是以影响评价对象的各种因素为元素所组成的一个普通集合，通常用U表示，U = {u 1 u\mathop{{}}\nolimits_{{1}}u1 ,u 2 u\mathop{{}}\nolimits_{{2}}u2 , ··· ,u n u\mathop{{}}\nolimits_{{n}}un }，其中元素u i u\mathop{{}}\nolimits_{{i}}ui 代表影响评价对象的第 i 个因素。这些因素，通常都具有不同程度的模糊性。
对员工的表现，需要从多个方面进行综合评判，如员工的工作业绩、工作态度、沟通能力、政治表现等。所有这些因素构成了评价指标体系集合，即因素集，记为：U = {政治表现u 1 u\mathop{{}}\nolimits_{{1}}u1 ，工作能力u 2 u\mathop{{}}\nolimits_{{2}}u2 ，工作态度u 3 u\mathop{{}}\nolimits_{{3}}u3 ，工作成绩u 4 u\mathop{{}}\nolimits_{{4}}u4 }。
2. 建立综合评价的评价集
评价集是评价者对评价对象可能做出的各种结果所组成的集合，通常用V表示， V = {v 1 v\mathop{{}}\nolimits_{{1}}v1 ,v 2 v\mathop{{}}\nolimits_{{2}}v2 , ··· ,v m v\mathop{{}}\nolimits_{{m}}vm }，其中元素v j v\mathop{{}}\nolimits_{{j}}vj 代表第 j 种评价结果，可以根据实际情况的需要，用不同的等级、评语或数字来表示。
对企业员工的评价有好、良好、中等、较差、很差等。由各种不同决断构成的集合称为评语集，记为：V = {优秀v 1 v\mathop{{}}\nolimits_{{1}}v1 ，良好v 2 v\mathop{{}}\nolimits_{{2}}v2 ，中等v 3 v\mathop{{}}\nolimits_{{3}}v3 ，较差v 4 v\mathop{{}}\nolimits_{{4}}v4 ，很差v 5 v\mathop{{}}\nolimits_{{5}}v5 }。
3. 确定各因素的权重
评价工作中，各因素的重要程度有所不同，为此，给各因素u i u\mathop{{}}\nolimits_{{i}}ui 一个权重a 1 a\mathop{{}}\nolimits_{{1}}a1 ，各因素的权重集合的模糊集，用A表示：A = {a 1 a\mathop{{}}\nolimits_{{1}}a1 ,a 2 a\mathop{{}}\nolimits_{{2}}a2 , ··· ,a n a\mathop{{}}\nolimits_{{n}}an }。
在没有数据时，我们可以通过层次分析法确定权重；在有数据时，我们可以通过熵权法确定权重。在案例中，我们确定各因素的权重为：A = {0.25，0.2，0.25，0.3}。
4. 进行单因素模糊评价，获得评价矩阵
若因素集U中第 i 个元素对评价集V中第1个元素的隶属度为r i 1 r\mathop{{}}\nolimits_{{i1}}ri1 ，则对第 i 个元素单因素评价的结果用模糊集合表示为：R i R\mathop{{}}\nolimits_{{i}}Ri = {r i 1 r\mathop{{}}\nolimits_{{i1}}ri1 ,r i 2 r\mathop{{}}\nolimits_{{i2}}ri2 , ··· ,r i m r\mathop{{}}\nolimits_{{im}}rim }，以 m 个单因素评价集R 1 R\mathop{{}}\nolimits_{{1}}R1 ，R 2 R\mathop{{}}\nolimits_{{2}}R2 ，···，R n R\mathop{{}}\nolimits_{{n}}Rn 为行组成矩阵R n ∗ m R\mathop{{}}\nolimits_{{n*m}}Rn∗m ，称为模糊综合评价矩阵。
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★ 隶属函数的三种确定方法
模糊统计法(数模比赛中很少用，要设计发放问卷，可能来不及，但实际做研究用的较多)
原理 :找多个人去对同个模糊概念进行描述，用隶属频率去定义隶属度 。
借助已有的客观尺度(需要有合适的指标，并能收集到数据)
指派法(根据问题的性质直接套⽤某些分布 作为⾪属函数，主观性较强)
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在本案例中，通过专家评审打分，我们得到以下评价矩阵：
5. 建立综合评价模型
确定单因素评判矩阵R和因素权向量A之后，通过模糊变化将U上的模糊向量A变为V上的模糊向量B，即 B =A 1 n A\mathop{{}}\nolimits_{{1n}}A1n *R n m R\mathop{{}}\nolimits_{{nm}}Rnm = {b 1 b\mathop{{}}\nolimits_{{1}}b1 ，b 2 b\mathop{{}}\nolimits_{{2}}b2 ，···，b m b\mathop{{}}\nolimits_{{m}}bm }。
在本例中
6. 确定系统总得分
综合评价模型确定后，确定系统得分，即 F =B 1 ∗ m B\mathop{{}}\nolimits_{{1*m}}B1∗m S 1 ∗ m T S\mathop{{}}\nolimits_{{1m}}^{{T}}S1∗mT ,其中F为系统总得分，S 为V 中相应因素的级分。
在本例中，我们设置优秀、良好、一般、较差、很差的得分分别为100、75、50、25、0，则我们得到S = {100，75，50，25，0}，则该员工最后的系统总得分为71.5。
其他案例
1. 一级模糊综合评价模型实例(一)
2. 一级模糊综合评价模型实例(二)
3. 二级模糊综合评价模型实例
4. 三级模糊综合评价模型实例
代码
此模型计算过程较简单，没有相应代码，只需按照步骤一步步完成即可，矩阵的乘法可以用MATLAB实现。