等价无穷小的性质及应用

等价无穷小的性质及应用

引用

新浪网

1.

https://m.edu.iask.sina.com.cn/jy/2GpdgroQfGz.html

等价无穷小是高等数学中的一个重要概念，它在求极限时有着广泛的应用。本文将从无穷小的定义出发，逐步介绍无穷小的比较、等价无穷小的定义，并给出多个重要的等价无穷小替换公式。

1. 无穷小的定义

首先来看看什么是无穷小：无穷小就是以数零为极限的变量。

确切地说，当自变量x无限接近x0(或x的绝对值无限增大)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)＝0(或f(x)＝0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。

例如，f(x)＝(x－1)2是当x→1时的无穷小量，f(n)＝是当n→∞时的无穷小量，f(x)＝sinx是当x→0时的无穷小量。

特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。

2. 无穷小的比较

这里值得一提的是，无穷小是可以比较的：假设a、b都是lim的无穷小

如果lim b/a=0，就说b是比a高阶的无穷小，记作b=o（a） 比如b=1/x^2，a=1/x。

x->无穷时，通俗的说，b时刻都比a更快地趋于0，所以称做是b高阶。

假如有c=1/x^10,那么c比a b都要高阶，因为c更快地趋于0了。

如果lim b/a^n=常数，就说b是a的n阶的无穷小，b和a^n是同阶无穷小。

3. 等价无穷小

从无穷小的比较里可以知道，如果lim b/a^n=常数，就说b是a的n阶的无穷小，b和a^n是同阶无穷小。

特殊地，如果这个常数是1，且n=1，即lim b/a=1，则称a和b是等价无穷小的关系，记作a～b

等价无穷小在求极限时有重要应用，我们有如下定理：假设lim a～a＇、b～b＇则：lim a/b=lim a＇/b＇

现在我们要求这个极限 lim(x→0)sin(x)/(x+3)

根据上述定理 当x→0时 sin(x)～x(重要极限一)x+3～x+3 ，那么lim(x→0)sin(x)/(x+3)=lim(x→0)x/(x+3)=0

4. 重要的等价无穷小替换

• sinx~x
• tanx~x
• arcsinx~x
• arctanx~x
• 1-cosx~1/2x^2
• a^x-1~xlna
• e^x-1~x
• ln(1+x)~x
• (1+Bx)^a-1~aBx
• [(1+x)^1/n]-1~1/nx
• loga(1+x)~1/lna x