数据库关系代数中的除操作详解

数据库关系代数中的除操作详解

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/czhmx/article/details/146276549

关系代数中的除操作符（÷）是一种用于处理关系数据库中查询的运算符，主要用于解决涉及“所有”这一概念的问题。它是关系代数中较为复杂的一种操作，通常用来从两个关系（也就是表）中找出在第一个关系中出现的所有元组组合。

基本概念

设我们有两个关系R和S，其中R有属性A和B（记作R(A, B)），而S有属性B（记作S(B)）。除操作的目标是找出那些在R中与S中每个元素配对的所有A值组成的集合。换句话说，如果对于S中的每一个B值，都存在一个或多个R中的(A, B)对，则这些A值将包含在结果集中。

举例说明

为了更好地理解除操作符，我们通过一个具体的例子来说明。

示例数据

假设我们有以下两个关系（也就是表）：

关系R（学生选课表）

关系 S（课程表）

求解过程

在讲解R÷S的计算过程之前，我们先回顾一下小学所学的除法：假设有两个数字a和b，那么我们都知道：a÷b = 商+余数。如果我们用q代表商，用y代表余数，那么就有a÷b=q……y，这个公式可变形为a=q×b + y。其实，R÷S的含义及计算原理与a÷b类似，所不同的是，R÷S的结果我们只保留商，而舍弃余数。

这里，我们假设商用Q表示，余数用y表示，那么R÷S=Q……y（注意：取最终结果时y不保留），这个公式可变形R=Q×S+y或Q×S+y = R。现在求解R÷S就变为Q的值过程。

将公式Q×S+y = R用图形的方式表达如下：

接下来，把S带入公式Q×S，得到结果：

然后让这个结果再加上余数，就得到了完整的R表的数据：

我们所求得的Q值，就是R÷S的结果。

结果关系（表）

针对该示例，R÷S的含义是：找出所有选修了所有课程的学生。

公式表示

如果我们用公式来表示上述过程：
R÷S={t∣t∈πA (R)∧∀s∈S,(t,s)∈R}

在这个例子中：
R÷S={1}
因为只有学号1 对应的所有课程编号与 SS 中的所有课程编号完全匹配。

公式解读

R÷S={t∣t∈πA(R)∧∀s∈S,(t,s)∈R}
符号解释

• R÷S: 这是除操作的结果，即满足条件的所有元组 tt的集合。
• t 表示一个元组，通常是 R中某些属性的组合（例如学号）。
• πA(R): 表示从关系 R 中投影出特定属性（例如学号）的所有可能值。
• ∧: 逻辑“与”操作符，表示两边的条件都必须成立。
• ∀s∈S: 表示对于关系 S 中的所有元组 s。
• (t,s)∈R: 表示将元组 t 和 s 组合后的结果仍然存在于关系 RR 中。

形式定义

给定关系R(A1, A2, ..., Am, B1, B2, ..., Bn)和S(B1, B2, ..., Bn)，除操作的结果是一个关于属性A1, A2, ..., Am的新关系T(A1,A2,...,A m )，T包含所有满足以下条件的元组：对于每一个在T中的元组t，在R中存在与t配对的所有S中的元组。

在线练习工具

读者可以使用以下在线工具进行关系代数操作符的练习：
https://dbis-uibk.github.io/relax/calc/local/uibk/local/0