带通采样定理详解
带通采样定理详解
采样定理基础
低通采样定理（奈奎斯特采样）
低通采样定理（奈奎斯特采样）要求采样频率大于信号最高频率的两倍。这是为了确保信号在采样过程中不会发生频谱混叠，从而能够无失真地恢复原始信号。
带通采样定理
带通信号的采样频率在某些条件下可以低于信号的最高频率，但仍能无失真地恢复原始信号。这为带通信号的采样提供了一种更灵活的方案。
频谱混叠现象
对一个连续时域信号进行采样后，会得到一个时域离散但幅值连续的采样信号。根据傅里叶变换理论，采样的本质是对原始信号进行周期性的频域搬移。通常情况下，我们会选择采样周期为信号周期的整数倍，以避免信号混叠。但如果采样频率出现误差，就会导致周期性频谱搬移过程中出现频谱混叠，使得采到的数据点无法还原真正的周期信号，从而无法恢复原信号。
带通采样定理详解
设一个频率信号x(t)的频带限制在(fl, fh)，采样速率fx满足：
式中，n取能满足fs >= 2(fh - fl)的最大整数倍，则用fs进行等间隔采样所得到的信号采样值x(nTs)能准确地确定原信号。
举例说明
上图是一个双边谱，左侧为镜像。我们对其进行频谱搬移：
移动到fL左侧的信号假设为搬移m次，可以假设最近的信号点位-fL+mfs，那么右侧为m+1次，则点位 -fH+(m+1)fs，fs就是我们假设的采样频率。如果要保证频谱不产生混叠，需要满足以下条件：
-fL+mfs <= fL && -fH+(m+1)fs >=fH
根据这个要求，可以解出fs，m需要取得一个最大值，这样才能让获得的信息效率最高。根据上面的不等式 2fL/m >= 2fH/m+1，m因为是个数 所以一定是个整数，整理后得：
m <= fL/fH-fL
我们就对这个数进行一个向下取整，我们看到分母，分母就是我们信号的带宽(B)
那么 m(max) =[fL/B]
现在假设有两种情况，第一种，如果m不是整数， m = n-1 根据化简，最后我们就可以得到：
fs >= 2B(1+k/n)
如果是个整数倍，按照一样的思路推就可以。
这样带通采样的使用条件，就是只允许其中一个频带上存在信号，而不允许在不同的频带同时存在信号，否则将会引起信号混叠。