雅可比矩阵与线性变换
雅可比矩阵与线性变换
雅可比矩阵是数学和工程领域中一个重要的概念，主要用于描述非线性函数的局部线性变化。通过计算函数在某一点处的雅可比矩阵，可以预测函数在特定点附近的变化。本文将详细介绍雅可比矩阵的定义、计算方法及其在线性变换中的应用。
雅可比矩阵
雅可比矩阵是一种组织偏导数的方式，帮助理解非线性函数的局部线性变化。通过计算给定函数的所有偏导数并组成矩阵，可以得到雅可比矩阵。通过计算函数在某一点处的雅可比矩阵，可以预测函数在特定点附近的变化。雅可比矩阵作为线性化工具，对理解复杂非线性函数的局部行为具有重要意义。
雅可比矩阵的计算
矩阵形式表示的多元函数的导数，每一列对函数的一个自变量求偏导。
例如对一个由f 1 f1f1和f 2 f2f2组成的矩阵求导：
得到的矩阵就是雅可比矩阵，一般用J表示（Jacobian）。
示例
可根据雅可比矩阵的定义，先求函数f ff各分量对x xx、y yy的偏导数，再将其按顺序排列成矩阵。
设f ( [ x y ] ) = [ u ( x , y ) v ( x , y ) ] = [ x + sin ( y ) y + sin ( x ) ] f\left(\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}u(x,y)\v(x,y)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x + \sin(y)\y+\sin(x)\end{bmatrix}f([xy ])=[u(x,y)v(x,y) ]=[x+sin(y)y+sin(x) ]，其中u ( x , y ) = x + sin ( y ) u(x,y)=x + \sin(y)u(x,y)=x+sin(y)，v ( x , y ) = y + sin ( x ) v(x,y)=y+\sin(x)v(x,y)=y+sin(x)。
步骤一：求u ( x , y ) u(x,y)u(x,y)对x xx、y yy的偏导数
- 对u ( x , y ) u(x,y)u(x,y)关于x xx求偏导数时，将y yy看作常数：
根据求导公式( X n ) ′ = n X n − 1 (X^n)^\prime=nX^{n - 1}(Xn)′=nXn−1，( sin X ) ′ = cos X (\sin X)^\prime=\cos X(sinX)′=cosX，可得∂ u ∂ x = ∂ ∂ x ( x + sin ( y ) ) = 1 + 0 = 1 \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x + \sin(y)) = 1+0 = 1∂x∂u =∂x∂ (x+sin(y))=1+0=1。 - 对u ( x , y ) u(x,y)u(x,y)关于y yy求偏导数时，将x xx看作常数：
同理可得∂ u ∂ y = ∂ ∂ y ( x + sin ( y ) ) = 0 + cos ( y ) = cos ( y ) \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x + \sin(y)) = 0+\cos(y)=\cos(y)∂y∂u =∂y∂ (x+sin(y))=0+cos(y)=cos(y)。
步骤二：求v ( x , y ) v(x,y)v(x,y)对x xx、y yy的偏导数
- 对v ( x , y ) v(x,y)v(x,y)关于x xx求偏导数时，将y yy看作常数：
可得∂ v ∂ x = ∂ ∂ x ( y + sin ( x ) ) = 0 + cos ( x ) = cos ( x ) \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(y+\sin(x)) = 0+\cos(x)=\cos(x)∂x∂v =∂x∂ (y+sin(x))=0+cos(x)=cos(x)。 - 对v ( x , y ) v(x,y)v(x,y)关于y yy求偏导数时，将x xx看作常数：
可得∂ v ∂ y = ∂ ∂ y ( y + sin ( x ) ) = 1 + 0 = 1 \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y+\sin(x)) = 1+0 = 1∂y∂v =∂y∂ (y+sin(x))=1+0=1。
步骤三：构建雅可比矩阵
雅可比矩阵J JJ的形式为J = [ ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y ] J=\begin{bmatrix}\frac{\partial u}{\partial x}&\frac{\partial u}{\partial y}\\frac{\partial v}{\partial x}&\frac{\partial v}{\partial y}\end{bmatrix}J=[∂x∂u ∂x∂v ∂y∂u ∂y∂v ]，将上面求得的偏导数代入可得：
J = [ 1 cos ( y ) cos ( x ) 1 ] J=\begin{bmatrix}1&\cos(y)\\cos(x)&1\end{bmatrix}J=[1cos(x) cos(y)1 ]
综上，该函数的雅可比矩阵是[ 1 cos ( y ) cos ( x ) 1 ] \begin{bmatrix}1&\cos(y)\\cos(x)&1\end{bmatrix}[1cos(x) cos(y)1 ]。
雅可比矩阵与线性变换
非线性变换也存在局部线性，即使函数整体变换很复杂，但是某个点附近的变换是线性的。
考虑某点附近的线性变换，则其x xx方向基向量变换如下，
同理，对y yy方向变换如下图：
对于2 × 2 2\times22×2的雅可比矩阵[ ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y ] \begin{bmatrix}\frac{\partial f_{1}}{\partial x}&\frac{\partial f_{1}}{\partial y}\\frac{\partial f_{2}}{\partial x}&\frac{\partial f_{2}}{\partial y}\end{bmatrix}[∂x∂f1 ∂x∂f2 ∂y∂f1 ∂y∂f2 ]与列向量[ d x d y ] \begin{bmatrix}dx\dy\end{bmatrix}[dxdy ]相乘：
- 计算结果矩阵的第一行元素：
用雅可比矩阵的第一行[ ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ] \left[\frac{\partial f_{1}}{\partial x} \quad \frac{\partial f_{1}}{\partial y}\right][∂x∂f1 ∂y∂f1 ]与列向量[ d x d y ] \begin{bmatrix}dx\dy\end{bmatrix}[dxdy ]相乘，即∂ f 1 ∂ x × d x + ∂ f 1 ∂ y × d y \frac{\partial f_{1}}{\partial x}\times dx+\frac{\partial f_{1}}{\partial y}\times dy∂x∂f1 ×dx+∂y∂f1 ×dy，得到结果矩阵第一行的元素∂ f 1 ∂ x d x + ∂ f 1 ∂ y d y \frac{\partial f_{1}}{\partial x}dx+\frac{\partial f_{1}}{\partial y}dy∂x∂f1 dx+∂y∂f1 dy。 - 计算结果矩阵的第二行元素：
用雅可比矩阵的第二行[ ∂ f 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y ] \left[\frac{\partial f_{2}}{\partial x} \quad \frac{\partial f_{2}}{\partial y}\right][∂x∂f2 ∂y∂f2 ]与列向量[ d x d y ] \begin{bmatrix}dx\dy\end{bmatrix}[dxdy ]相乘，即∂ f 2 ∂ x × d x + ∂ f 2 ∂ y × d y \frac{\partial f_{2}}{\partial x}\times dx+\frac{\partial f_{2}}{\partial y}\times dy∂x∂f2 ×dx+∂y∂f2 ×dy，得到结果矩阵第二行的元素∂ f 2 ∂ x d x + ∂ f 2 ∂ y d y \frac{\partial f_{2}}{\partial x}dx+ \frac{\partial f_{2}}{\partial y}dy∂x∂f2 dx+∂y∂f2 dy。
从多元函数全微分角度看，f 1 = f 1 ( x , y ) f_{1} = f_{1}(x,y)f1 =f1 (x,y)的全微分为d f 1 = ∂ f 1 ∂ x d x + ∂ f 1 ∂ y d y df_{1}=\frac{\partial f_{1}}{\partial x}dx+\frac{\partial f_{1}}{\partial y}dydf1 =∂x∂f1 dx+∂y∂f1 dy，f 2 = f 2 ( x , y ) f_{2} = f_{2}(x,y)f2 =f2 (x,y)的全微分为d f 2 = ∂ f 2 ∂ x d x + ∂ f 2 ∂ y d y df_{2}=\frac{\partial f_{2}}{\partial x}dx+\frac{\partial f_{2}}{\partial y}dydf2 =∂x∂f2 dx+∂y∂f2 dy。那么[ ∂ f 1 ∂ x d x + ∂ f 1 ∂ y d y ∂ f 2 ∂ x d x + ∂ f 2 ∂ y d y ] = [ d f 1 d f 2 ] \begin{bmatrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x}dx+\frac{\partial f_{1}}{\partial y}dy\ \frac{\partial f_{2}}{\partial x}dx+ \frac{\partial f_{2}}{\partial y}dy\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}df_{1}\df_{2}\end{bmatrix}[∂x∂f1 dx+∂y∂f1 dy∂x∂f2 dx+∂y∂f2 dy ]=[df1 df2 ]，表示向量值函数[ f 1 ( x , y ) f 2 ( x , y ) ] \begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\f_{2}(x,y)\end{bmatrix}[f1 (x,y)f2 (x,y) ]的全微分向量形式，体现了函数在x xx和y yy方向微小变化d x dxdx、d y dydy时，函数值的微小变化情况。
这个2 × 2 2\times22×2的矩阵便是表示该点被放大后线性变换的样子，这个矩阵被称为雅可比矩阵。
类比线性变换，把2维映2维的多元函数表示成一种空间变换，并通过这个变换的局部线性化来解释雅可比矩阵的含义。
例如，在( − 2 ， 1 ) (-2，1)(−2，1)附近线性变换计算如下：
将x = − 2 x = -2x=−2，y = 1 y = 1y=1代入雅可比矩阵J JJ中，可得：
J ( − 2 , 1 ) = [ 1 cos ( 1 ) cos ( − 2 ) 1 ] J(-2,1)=\begin{bmatrix}1&\cos(1)\\cos(-2)&1\end{bmatrix}J(−2,1)=[1cos(−2) cos(1)1 ]
综上，函数f ff在( − 2 , 1 ) (-2,1)(−2,1)处的雅可比矩阵是[ 1 cos ( 1 ) cos ( − 2 ) 1 ] \begin{bmatrix}1&\cos(1)\\cos(-2)&1\end{bmatrix}[1cos(−2) cos(1)1 ]，
d e t ( [ 1 cos ( 1 ) cos ( − 2 ) 1 ] ) ≈ 1.227 det(\begin{bmatrix}1&\cos(1)\\cos(-2)&1\end{bmatrix})\approx 1.227det([1cos(−2) cos(1)1 ])≈1.227。
应用
雅可比矩阵在判断函数性质方面有多种应用：
局部可逆性：对于一个向量值函数f : R n → R n f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^nf:Rn→Rn，若在某点p pp处雅可比矩阵J f ( p ) J_f(p)Jf (p)的行列式det ( J f ( p ) ) ≠ 0 \det(J_f(p)) \neq 0det(Jf (p)) =0，则函数f ff在点p pp的某个邻域内是局部可逆的。比如在二维空间中，若雅可比矩阵行列式不为0 00，则在该点附近函数能进行一对一的变换，存在反函数。
函数的局部线性近似：雅可比矩阵J f ( x ) J_f(x)Jf (x)可用于对向量值函数f ff进行局部线性近似。函数f ff在点x 0 x_0x0 附近可近似表示为f ( x ) ≈ f ( x 0 ) + J f ( x 0 ) ( x − x 0 ) f(x)\approx f(x_0)+J_f(x_0)(x - x_0)f(x)≈f(x0 )+Jf (x0 )(x−x0 )，这有助于分析函数在某点附近的变化趋势 ，类似一元函数的导数用于线性近似。
判断函数的增减性与极值：在多元函数求极值问题中，通过对雅可比矩阵及其二阶导数相关矩阵（海森矩阵）分析，可以判断函数是否取得极值。若雅可比矩阵在某点处为零矩阵，还需进一步分析海森矩阵的正定性等性质来确定该点是否为极值点。
流形上的映射性质：在研究流形之间的映射时，雅可比矩阵能反映映射的光滑性和切空间之间的线性变换关系。例如，若雅可比矩阵在某点处秩小于流形维度，则该点可能是映射的奇点。
视频参考
（干货）《雅可比矩阵是什么东西》3Blue1Brown，搬自可汗学院。 【自制中文字幕】
《雅可比矩阵下：所谓的雅可比行列式》3Blue1Brown Grant Sanderson，搬自可汗学院。 【自制中文字幕】