函数、极限、连续性、导数

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@小白创作中心

函数、极限、连续性、导数

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来源

https://www.cnblogs.com/ellabrain/p/18460556

为了加深在人工智能、深度学习领域的学习，接下来会推出数学基础系列博客，加深自己在这领域的基础知识。

一、函数

1、函数的定义

函数表示量与量之间的关系如：。更普遍的是用表示，其中x表示自变量，y表示因变量。函数在x0处取得的函数值。值得一提的是，符号只是一种表示，也可以用其他符号来表示，比如：、、等。

2、常用函数形式

分段函数：
反函数：
显函数：
隐函数：

3、函数特点

奇函数：相对于原点对称的函数，如，代入计算可得。
偶函数：相当于Y轴对称的函数，如，代入计算可得。
周期函数：经过一个周期T的变化函数值仍相等，如常见的三角函数等。
单调性：分为单调递增函数和单调递减函数。

二、极限

1、数列

通俗的讲就是一列有序的数：，其中叫做通项。对于数列，如果当n无限增大时，其通项无限接近于一个常数A，则称该数列以A为极限或称数列收敛于A，否则称数列为发散。

2、极限

符号表示：
表示“当|x|无限增大时” ，
表示“当x无限增大时” ，
表示“当x无限减少时” ，
表示“当x从x0的左右两侧无限接近于x0时” ，
表示“当x从x0的右侧无限接近于x0时” ，
表示“当x从x0的左侧无限接近于x0时” ，
下面用几个示例图形象地表示极限

3、定义

函数在x0的邻域内有定义，有，或。例如

4、左右极限

函数在左半邻域/右半邻域内有定义，有

的充要条件是
有以下例题，求的极限
求解可得，当x->0时，f(x)的极限，。左右极限存在但不相等，所以f(x)在x->0时极限不存在。

5、极限性质

无穷小：以零为极限，如函数，是时的无穷小。，是时的无穷小。
基本性质：
1.有限个无穷小的代数和仍是无穷小。
2.有限个无穷小的积仍是无穷小。
3.有界变量与无穷小的积仍是无穷小。
4.无限个无穷小之和不一定是无穷小。

5.无穷小的商不一定是无穷小。
6.极限有无限小的关系：的充要条件是，其中是时的无穷小。
7.无穷大：并不是一个很大的数，是相对于变换过程来说。或。
8.无穷小和无穷大的关系：在自变量的变换的同一过程中，如果f(x)为无穷大，那么为无穷小。
9.无穷小的比较：都是无穷小，。有如下比较。

三、连续性

1、函数的连续性

设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果当自变量的改变量趋近于0时，相应函数的改变量也趋近于0，则称y=f(x)在点x0处连续。

函数的连续性，函数f(x)在点x0处连续，需要满足的条件：1、函数在该点有定义。2、函数在该点极限存在。3、极限值等于函数值f(x0)
例题，函数在x=0处的连续性？
解：判断左右界限是否存在且先等。如下图所示

2、函数的间断点

函数f(x)在点x=x0处不连续，则称其为函数的间断点。一共三种情况为间断点：1、函数f(x)在点x0处没有定义。2、函数在该点极限不存在。3、满足前两点，但是。
当x->x0时，f(x)的左右极限存在，则称x0为f(x)的第一类间断点，第一类间断点分为跳跃间断点和可去间断点，否则为第二类间断点。
跳跃间断点：与均存在，但不相等。
可去间断点：存在但不等于。