高等数学（第三版）课件：多元函数的概念、极限与连续

高等数学（第三版）课件：多元函数的概念、极限与连续

本文是关于高等数学中多元函数的概念、极限与连续性的课件内容。文章详细介绍了多元函数的定义、二元函数的极限与连续性，并通过多个例题进行说明。内容系统全面，适合学习高等数学的学生和教师参考。

一、多元函数的概念

1. 引例

• 例1：圆柱体的体积和它的底半径、高之间的关系为，其中、是三个变量。当变量、在一定范围（，）内取定一对数值时，根据给定的关系，就有一个确定的值与之对应。

• 例2：电路中电流强度、电压和电阻之间满足关系式，其中是三个变量。当变量在一定范围()内取定一对数值时，根据给定的关系，就有一个确定的值与之对应。

2. 二元函数的定义

定义1：设是三个变量。如果当变量在一定范围内任意取定一对数值时，变量按照一定的法则总有确定的数值与它们对应，则称变量是变量的二元函数，记为其中称为自变量，称为因变量。自变量的取值范围称为函数的定义域。二元函数在点所取得的函数值记为，或

例3：设求解表示数轴上点,则一元函数可以表示为;数组表示空间一点称为点若所以三元函数可表示为的坐标。以点为点。表示自变量的函数称为点函数。这样不论是一元函数还是多元函数都可统一地表示的函数

3. 二元函数的定义域

二元函数的定义域较复杂，它可以是一个点，也可能是一条曲线或几条曲线所围成的部分平面，甚至可能是整个平面。整个平面或由曲线围成的部分平面称为区域；围成区域的曲线称为该区域的边界；不包括边界的区域称为开区域，连同边界在内的区域称为闭区域。

以点为中心，为半径的圆内所有点的集合称为点的邻域，记作。如果一个区域可以被包含在原点的某个邻域内，则称该区域为有界区域，否则称为无界区域。

例4：求下列函数的定义域，并画出的图形。

（1）

解：要使函数有意义，应有即

定义域为有界开区域

（2）

解：要使函数有意义，应有

即

定义域为无界闭区域

设是二元函数的定义域内的任一点，则相应的函数值为，有序数组确定了空间一点，称点集为二元函数的图形。二元函数的图形通常是一张曲面。

二、二元函数的极限与连续

1. 二元函数的极限

定义2：设二元函数在点的某一邻域内有定义（点可以除外），如果当点沿任意路径趋于点时，函数趋于常数，那么称为函数的某一总无限AA时的极限，记为或

说明：

（1）定义中的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。

（2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似，如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等。

例5：求极限

解：其中

例6：证明不存在。

证：其值随k的不同而变化，故极限不存在。

确定极限不存在的方法：

（1）令点沿趋向于极限值与有关，则在点处极限不存在；

（2）找出两种不同趋近方式，使存在，但两者不相等，则此时在点处极限不存在。

2. 二元函数的连续性

定义3：设函数在点的某一邻域内有定义。如果函数在区域内每一点都连续，则在区域如果函数在点不连续，则称点是函数的间断点。

例7：求。

解：因为函数是初等函数，且点在该函数的定义域内，故

例8：讨论函数的连续性。

解：当时，为初等函数，故函数在点处连续。当时，由例5知不存在，所以函数在点处不连续，即原点是函数的间断点。

3. 有界闭区域上连续函数的性质

性质1（最值定理）：在