黎曼积分（Riemann Integral）

黎曼积分（Riemann Integral）

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/AdamCY888/article/details/145920898

黎曼积分（Riemann Integral）是数学分析中定积分的一种严格定义方法，由德国数学家黎曼（Bernhard Riemann）在19世纪提出，用于精确描述函数在给定区间上的积分值。以下是其核心概念与特点：

1. 核心思想与定义

黎曼积分的核心思想是通过对区间进行无限细化的分割，构造黎曼和并求其极限来定义积分值。具体步骤如下：

1. 区间的分割：将闭区间 ([a, b]) 划分为若干子区间 ([x_{i-1}, x_i])，记子区间长度的最大值为 (|T| = \max {x_i - x_{i-1}})。
2. 取样点与黎曼和：在每个子区间中任取一点 (\xi_i)，构造和式 (S = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)(x_i - x_{i-1}))，称为黎曼和。
3. 极限定义：若当 (|T| \to 0) 时，无论分割方式和取样点如何选择，黎曼和均趋近于同一实数 (I)，则称 (f) 在 ([a, b]) 上黎曼可积，且 (I = \int_a^b f(x)dx)。

2. 严格性与等价定义

黎曼积分的严格性体现在其与达布积分的等价性：

• 达布积分通过上下确界定义：若上积分（所有上黎曼和的下确界）与下积分（所有下黎曼和的上确界）相等，则函数黎曼可积。
• 国内教材常采用“极限趋于零”的表述，但存在模糊性；严格定义需引入网收敛的概念，将分割的精细化视为偏序关系，从而定义极限。

3. 性质

黎曼积分具有以下重要性质：

• 线性性：对常数 (\alpha, \beta) 和可积函数 (f, g)，有 (\int_a^b (\alpha f + \beta g)dx = \alpha \int_a^b f dx + \beta \int_a^b g dx)。
• 正定性：若 (f \geq 0) 几乎处处成立，则积分非负；若积分为零，则 (f) 几乎处处为零。
• 可加性：对区间 ([a, c]) 和 ([c, b]) 上的积分，满足 (\int_a^b f dx = \int_a^c f dx + \int_c^b f dx)。
• 可积条件：函数需有界且在区间上几乎处处连续（不连续点构成零测集）。

4. 局限性及推广

尽管黎曼积分是经典积分理论的基础，但其存在以下局限性：

• 无界区间处理困难：需借助反常积分，但可能丧失平移不变性或与极限交换性。
• 灵活性不足：对高度震荡或不连续函数难以处理，例如狄利克雷函数不可积。

因此，后续发展出更广义的积分方法：

• 勒贝格积分：基于测度理论，适用于更广泛的函数类，且与黎曼积分兼容（黎曼可积函数必为勒贝格可积）。
• 黎曼-斯蒂尔切斯积分：引入权重函数，扩展积分定义。
• Henstock–Kurzweil积分：通过调整分割的精细度规则，覆盖更多可积函数。

5. 实际应用与教学差异

• 工科微积分：常采用等分区间并直接取极限的简化方法，例如将区间 (n) 等分后对 (n \to \infty) 求极限。这种方法不严格区分上下确界，但结果与黎曼积分一致。
• 严格分析：需验证所有可能的分割和取样点，确保极限唯一存在，体现了数学分析的严谨性。

总结

黎曼积分通过分割区间、构造黎曼和并求极限的方式，为连续和有界函数提供了积分的精确定义。尽管后续积分理论（如勒贝格积分）在应用范围上更广，黎曼积分仍是理解积分概念和计算的基础工具，尤其在物理、工程等领域的实际问题中广泛使用。