第一类曲线积分｜考研真题解析(图文版)

第一类曲线积分｜考研真题解析(图文版)

这是一道2018年考研数学一的真题，主要考察第一类曲线积分的计算。题目难度较大，当年很多考生未能想到合适的解题方法，导致得分率很低。本文将从概念出发，采用自然的思路进行解析，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

例. 设 $L$ 为球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ 与平面 $x + y + z = 2$ 的交线，请求出 $\int_L (x+y+z)ds$。

解. 具备一定的空间想象能力，以及运用对弧长的曲线积分的知识就可以得出正确答案。

（1）思路分析。绘制出球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ 与平面 $x + y + z = 2$ 的交线 $L$，即下图中的红色曲线，可见该交线是空间中的圆。本题要求的是函数 $f(x,y,z) = x+y+z$ 在交线 $L$ 上的对弧长的曲线积分 $\int_L f(x,y,z)ds$，因为交线 $L$ 是封闭的圆，为了强调这一点，常在积分符号上加圈，即将该式写作 $\oint_L f(x,y,z)ds$。

套用对弧长的曲线积分的计算法即可求出 $\int_L (x+y+z)ds$，但求出交线 $L$ 的参数方程是一个难点

（2）交线 $L$ 的参数方程形如 $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$，可以通过交线 $L$ 在 $xy$ 面上的投影先求出其中的 $x(t)$ 和 $y(t)$。具体做法是，写出交线 $L$ 的一般方程
$$
\begin{cases}
x^2 + y^2 + z^2 = 4 \
x + y + z = 2
\end{cases}
$$
消去其中的 $z$ 就可以得到交线 $L$ 在 $xy$ 面上的投影的方程，可以看出这是一个椭圆：
$$
\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} - \frac{xy}{2} = 1
$$
或运用空间想象能力，从上空俯瞰，如下图所示，可知交线 $L$ 在 $xy$ 面上的投影是一个椭圆，也就是上述求出的椭圆 $C$。

上述椭圆 $C$，可以看作由半长轴为 $a$、半短轴为 $b$ 的标准椭圆，如下图左侧所示，逆时针旋转 $\theta$ 后得到的，如下图右侧所示。

下面就需要求出 $a$、$b$、$\theta$ 这三个未知的参数，从而得到椭圆 $C$ 的参数方程。

先从半长轴 $a$ 开始。展开空间想象能力可知椭圆 $C$ 的长轴在平面 $x+y+z=2$ 与 $xy$ 面（即平面 $z=0$）的交线上，如下图所示，容易求出该交线的方程为 $x+y=2$，或者说是该交线对应的函数为 $y=2-x$。

联立椭圆 $C$ 和直线 $y=2-x$，可以求出两者的交点为 $(1,1)$ 以及 $(1,1)$，如下图所示，从而可得半长轴 $a=\sqrt{2}$。并且容易知道直线 $y=2-x$ 与 $x$ 轴正向的夹角为 $\frac{\pi}{4}$，这也就是之前提到过的逆时针旋转的角度，即有 $\theta=\frac{\pi}{4}$。

椭圆的长轴和短轴是垂直的，因此椭圆 $C$ 的短轴在直线 $y=x$ 上，如下图所示，可求出两者的交点为 $(\sqrt{2},\sqrt{2})$ 和 $(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$，从而可得半短轴 $b=\sqrt{2}$。

综上求出了：
$$
a=\sqrt{2}, b=\sqrt{2}, \theta=\frac{\pi}{4}
$$
所以半长轴为 $\sqrt{2}$、半短轴为 $\sqrt{2}$ 的标准椭圆的参数方程如下，并可以将之转为向量：
$$
\mathbf{r}_0(t) = (\sqrt{2}\cos t, \sqrt{2}\sin t)
$$
再借助旋转矩阵
$$
R = \begin{pmatrix}
\cos\frac{\pi}{4} & -\sin\frac{\pi}{4} \
\sin\frac{\pi}{4} & \cos\frac{\pi}{4}
\end{pmatrix}
$$
将上述标准椭圆逆时针旋转 $\frac{\pi}{4}$，就得到了椭圆 $C$ 的向量（关于椭圆的旋转，更详细的过程可以参看这里）：
$$
\mathbf{r}_C(t) = R\mathbf{r}_0(t) = (\cos t - \sin t, \cos t + \sin t)
$$
从而得到椭圆 $C$ 的参数方程：
$$
\begin{cases}
x = \cos t - \sin t \
y = \cos t + \sin t
\end{cases}
$$
因为椭圆 $C$ 是交线 $L$ 在 $xy$ 面上的投影，其参数方程中的 $x$ 和 $y$ 也就是交线 $L$ 参数方程中的 $x$ 和 $y$，即才是可知交线 $L$ 参数方程为：
$$
\begin{cases}
x = \cos t - \sin t \
y = \cos t + \sin t
\end{cases}
$$

（3）求出交线 $L$ 的参数方程。因为交线 $L$ 在平面 $x+y+z=2$ 上，结合上该参数方程中的已知的 $x$ 和 $y$，可推出 $z=2-x-y$，从而得到交线 $L$ 的参数方程为：
$$
\begin{cases}
x = \cos t - \sin t \
y = \cos t + \sin t \
z = 2 - 2\cos t
\end{cases}
$$

（4）求出 $\int_L (x+y+z)ds$。根据对弧长的曲线积分的计算法，可得：
$$
\int_L (x+y+z)ds = \int_0^{2\pi} (x(t)+y(t)+z(t))|\mathbf{r}'(t)|dt
$$
代入交线 $L$ 的参数方程后可得出 $|\mathbf{r}'(t)|=2$，所以上式可以改写为：
$$
\int_0^{2\pi} (2\cos t + 2)2dt = 8\pi
$$

本题的官方参考答案如下（轮换对称性）：
轮换对称性