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如何用C语言求圆周率

创作时间:

作者:

@小白创作中心

如何用C语言求圆周率

引用

来源

https://docs.pingcode.com/baike/1290841

C语言是一门广泛应用的编程语言，其精确性和高效性使得它在科学计算中也被广泛使用。在用C语言求圆周率时，有几种不同的方法可供选择，主要包括蒙特卡洛方法、莱布尼茨公式、格雷戈里-莱布尼茨级数等。本文将详细介绍这些方法，并提供代码实例和其背后的数学原理。

一、蒙特卡洛方法

蒙特卡洛方法是一种统计模拟方法，通过随机采样来获得结果。在求圆周率时，蒙特卡洛方法通过在单位正方形中随机生成点，并计算落在单位圆内的点的比例来估算π的值。

1. 原理

设一个单位正方形，内嵌一个单位圆。随机生成的点（x, y）在正方形内，若满足 (x^2 + y^2 leq 1)，则该点在圆内。生成足够多的点，圆内点数与总点数的比例近似为圆面积与正方形面积之比，即π/4。

2. 实现代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>  
#include <time.h>  
#include <math.h>  
#define NUM_POINTS 1000000  

int main() {  
    int i, count = 0;  
    double x, y, pi;  
    srand(time(NULL));  
    for (i = 0; i < NUM_POINTS; i++) {  
        x = (double)rand() / RAND_MAX;  
        y = (double)rand() / RAND_MAX;  
        if (x * x + y * y <= 1) {  
            count++;  
        }  
    }  
    pi = (double)count / NUM_POINTS * 4;  
    printf("Estimated value of Pi: %fn", pi);  
    return 0;  
}

3. 优缺点

优点：实现简单，适用于并行计算。

缺点：收敛速度慢，需要大量的随机点才能达到较高精度。

二、莱布尼茨公式

莱布尼茨公式是一种基于无穷级数的方法，利用其简单的数学形式来计算π的值。

1. 原理

莱布尼茨公式表示为：
[ pi = 4 sum_{k=0}^{infty} frac{(-1)^k}{2k+1} ]

2. 实现代码

#include <stdio.h>

int main() {  
    int i, n = 1000000;  
    double pi = 0.0;  
    for (i = 0; i < n; i++) {  
        if (i % 2 == 0) {  
            pi += 1.0 / (2 * i + 1);  
        } else {  
            pi -= 1.0 / (2 * i + 1);  
        }  
    }  
    pi *= 4;  
    printf("Estimated value of Pi: %fn", pi);  
    return 0;  
}

3. 优缺点

优点：实现简单，易于理解。

缺点：收敛速度非常慢，需要大量的项才能达到较高精度。

三、格雷戈里-莱布尼茨级数

格雷戈里-莱布尼茨级数是一种改进的级数方法，相比于莱布尼茨公式，它的收敛速度更快。

1. 原理

格雷戈里-莱布尼茨级数利用反正切函数的级数展开来计算π：
[ pi = 4 left( sum_{k=0}^{infty} frac{(-1)^k}{2k+1} right) ]

2. 实现代码

#include <stdio.h>

int main() {  
    int i, n = 1000000;  
    double pi = 0.0;  
    for (i = 0; i < n; i++) {  
        pi += pow(-1, i) / (2 * i + 1);  
    }  
    pi *= 4;  
    printf("Estimated value of Pi: %fn", pi);  
    return 0;  
}

3. 优缺点

优点：实现较为简单，收敛速度比莱布尼茨公式快。

缺点：仍然需要较多的项才能达到高精度。

四、布丰投针法

布丰投针法是一种几何概率方法，通过模拟投针实验来估算π的值。

1. 原理

将单位长度的针随机投掷到有平行线的平面上，线间距也是单位长度。若针与线相交，则记为一次成功。设投掷次数为N，成功次数为M，则π的估计值为：
[ pi approx frac{2N}{M} ]

2. 实现代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>  
#include <math.h>  
#include <time.h>  
#define NUM_THROWS 1000000  

int main() {  
    int i, hits = 0;  
    double x, theta;  
    srand(time(NULL));  
    for (i = 0; i < NUM_THROWS; i++) {  
        x = (double)rand() / RAND_MAX;  
        theta = (double)rand() / RAND_MAX * M_PI;  
        if (x <= 0.5 * sin(theta)) {  
            hits++;  
        }  
    }  
    double pi = (double)2 * NUM_THROWS / hits;  
    printf("Estimated value of Pi: %fn", pi);  
    return 0;  
}