理解数列和函数的极限
理解数列和函数的极限
数列和函数的极限是数学分析中的基础概念，它们不仅在理论数学中占有重要地位，也是许多应用科学领域的必备工具。本文将从数列的基本定义出发，逐步深入探讨数列和函数极限的定义、性质及其应用。
什么是数列
数列就是按照一定顺序排列的数字，也可以理解为包含数字元素的队列。数列可以用以下两种格式表示：
- (a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n), 其中 (n \in \mathbb{N})
- ({a_n}), 其中 (n \in \mathbb{N})
其中，(a_n) 被称为通项。
数列的数学式表示方法
例如，对于数列
[1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots, \frac{1}{n}] (其中 (n \in \mathbb{N}))
可以表示为：
[\left{\frac{1}{n}\right}_{n=1}^{\infty}]
其中下标 (n=1) 表示 (n) 从 1 开始，上标 (\infty) 表示数列的长度是无限。
或者表示为：
[{a_n \mid a_n = \frac{1}{n}}, n \in \mathbb{N}]
第一种表示方法更为常用。
数列的收敛和发散
对于数列 ({a_n})，如果当 (n) 趋向于无穷大时，(a_n)（数列中最右的项）的值趋向于一个常数 (C)，那么我们认为这个数列是收敛的。否则，我们认为这个数列是发散的。
记作：
[\lim_{n \to \infty} a_n = C]
其中 (\lim) 表示 limit，即极限的意思。
或者也可以记作：
[a_n \to C (n \to \infty)]
例子
- 数列 (\left{\frac{1}{n}\right}{n=1}^{\infty}) 的极限 (\lim{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0)
- 数列 (\left{\frac{n}{n+1}\right}{n=1}^{\infty}) 的极限 (\lim{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1)
- 数列 (\left{2^n\right}_{n=1}^{\infty}) 没有收敛的极限，它是发散的
值得注意的是，数列 (\left{\frac{n^2}{n+1}\right}{n=1}^{\infty}) 的极限 (\lim{n \to \infty} \frac{n^2}{n+1} = n) 看起来收敛于 (n)，但是 (n) 并不是一个常数，所以它和自然数列 (\left{n\right}_{n=1}^{\infty}) 一样是发散的，并不是收敛。
双向数列
上面的数列都是单向数列，即有一个明显的起点（(n) 从 1 到 (\infty)）。但是有些数列的下标是从 (-\infty) 到 (\infty) 的，我们称这种数列为双向数列。
例如：(\left{2^n\right}_{n=-\infty}^{\infty})
注意，这里的 (-\infty) 并不是无穷小，而是负无穷大！
极限的符号表示
例如：
[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0]
这里的 (n \to \infty) 并不是 (n) 到正无穷大的意思，而是 (n) 到正无穷大和负无穷大，因为它的数列可能是双向数列，无论 (n) 是正无穷大和负无穷大，数列 (\left{\frac{1}{n}\right}_{n=-\infty}^{\infty}) 都收敛于 0。
所以：
- (n \to \infty) 意思是 当 (|n|) 趋向于无穷大时，也就是正无穷大 or 负无穷大
- (n \to +\infty) 意思是 (n) 趋向于正无穷大
- (n \to -\infty) 意思是 (n) 趋向于负无穷大
- (n \to x) 表示 (n) 从左右两侧无限接近 (x)
- (n \to x^-) 表示 (n) 从左侧无限接近 (x)
- (n \to x^+) 表示 (n) 从右侧无限接近 (x)
例子
(\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0)
这个函数只有在右向有极限(\lim_{x \to \infty} x^{-1} = 0), (x \in \mathbb{R} \cap x \neq 0)
这个函数就相当于上面提到的 (\left{\frac{1}{n}\right}) 数列，但是其实它在两个方向都有极限的，而且两个方向都是 0
[\lim_{x \to -\infty} \arctan(x) = -\frac{\pi}{2}]
[\lim_{x \to +\infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}]
这个例子，(\arctan(x)) 反正切函数，它在两个方向都有极限，但是两个方向的极限值是不同的
(x) 趋向于某个值的极限
上面的例子，列出的极限值都是基于 (x) 趋向于正无穷大 or 负无穷大的。但是在函数中，也有 (x) 趋向于某个具体值的函数极限值。
例子1
假如函数 (f(x) = x^2) 在某个 (x) 值 (x_0) 附近里有定义。那么
[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)]
（函数在某段区间是否连续的定义）
例子2
对于函数
[f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}, x \neq 1]
可以看出这个函数与 (f(x) = x + 1) 很类似，只在 (x=1) 时没有定义，但是它在 (x_0 = 1) 是有极限的
[\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x+1)\cancel{(x-1)}}{\cancel{x-1}} = \lim_{x \to 1} x+1 = 2]
(x) 从某个方向趋向于某个值的极限
假如函数 (f(x)) 在 (x_0) 的右半领域有定义 ((x_0, x_0 + \delta))
或者
(f(x)) 在 (x_0) 的左半领域有定义 ((x_0 - \delta, x_0))
那么我们可以用
[\lim_{x \to x_0^-} f(x)]
表示 (x) 从 (x_0) 左侧接近 (x_0) 的极限
[\lim_{x \to x_0^+} f(x)]
表示 (x) 从 (x_0) 右侧接近 (x_0) 的极限
注意，在某些分段函数中
[\lim_{x \to x_0^-} f(x)]
和
[\lim_{x \to x_0^+} f(x)]
不一定相等
而且
[\lim_{x \to x_0} f(x) = A]
的充要条件是
[\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A]
