理解ADC：Delta-Sigma ADC如何工作？
理解ADC：Delta-Sigma ADC如何工作？
前言
Delta-Sigma ADC，也有称为Sigma-Delta ADC、ΔΣ ADC、ΣΔ ADC。
Delta-Sigma ADC的应用非常广泛，特别是对于低频、高分辨率的信号处理场景，我们可能在不经意之间就使用到了Delta-Sigma ADC，比如音频Codec、生理监测、环境/过程控制，还有树莓派扩展板“ADC Pi”中的MCP3424也是一颗Delta-Sigma ADC。
然而，相比于SAR ADC，Delta-Sigma ADC的工作原理有点令人费解，今天就尝试为大家介绍一下。
Delta-Sigma ADC框图
在TI的应用笔记“How delta-sigma ADCs work, Part 1”（详见参考资料[1]）中给出了这类ADC的框图：
图1 Delta-Sigma ADC框图，来源[1]
它由两部分组成，ΔΣ调制器与数字/抽取滤波器：
- ΔΣ调制器：是一种调制器，将模拟信号调制成频率很高的1 bit数字信号，很多芯片手册里提到的过采样（Oversampling）和噪声整形（Noise shaping）就发生在这里。
- 数字/抽取滤波器：数字滤波器是为了去除目标信号以外的频谱成分，而抽取滤波器是为了将输出数据降低到合适的速率。
我们在此主要看ΔΣ调制器，因为它是这类ADC的基础。
ΔΣ调制器
在TI文中提供了“1 bit一阶ΔΣ调制器”的示意图，它由微分器（Difference Amplifier）、积分器（Integrator）、比较器（Comparator）、DAC组成：
图2 一阶ΔΣ调制器，来源[1]
其中：
- 对于1 bit的ΔΣ调制器，每次量化结果只有二进制“1”或“0”的1 bit；
- DAC也是1 bit，量化结果经DAC反馈到输入端，与输入信号相减，两者之差就是量化误差，体现的是“Delta”的部分；
- 积分器累积量化误差，因为是一阶的，只记录过去1个延时单位，累积后送到比较器，体现的是“Sigma”的部分；
- 比较器相当于1 bit的ADC，如果量化误差大于参考值，输出二进制的“1”，反之输出二进制的“0”。
这套系统以高频时钟运作，多次的量化结果输出一连串的二进制码流，每个码的速率是固定的。
时域表示
我发现在ADI的一个在线教程中（详见参考资料[2]），提供了上述系统运作的单步骤运作演示，你可以打开网页尝试一下，一步步点击“Next Step”查看结果，如下是Vin = 1.0V的例子截图：
图3 ΔΣ调制器单步骤演示，来源[2]
图中，DAC的参考电压Vref = 2.5V，当量化结果为“1”时，DAC = 2.5V；当量化结果为“0”时，DAC = -2.5V；这意味着输入信号的幅度范围可以是-2.5V至+2.5V（+/- Vref）。
此时，对于输入信号Vin = 1.0V，显示了前30个量化结果，分别为：1、0、1、1、1、0、1、1、0、1、1、0、1、1、1、0、1、1、0、1、1、0、1、1、1、0、1、1、0、1。
那么，这些量化结果是如何表示Vin呢？
重点来了，是用密度。在上述30个量化结果中有21个“1”，说明输入信号是满量程的21/30 = 70%，即：-2.5 + (2.5 *2) * 70% = 1V。注意，是从底部-Vref开始算起的。
又因为是纯粹数字化的步骤运算，很容易用Excel表格来模拟，比如以下是我用Excel模拟上述Vin = 1.0V的例子，前30个输出结果（Camparator Out列）与网页是一致的，右侧的波形图分别是Vin（蓝色波形）和DAC输出（橙色波形），并且，Excel下侧的状态栏显示Average是0.7（字比较小）：
图4 Excel模拟ΔΣ调制器过程，输入为直流信号
那么，如果将Vin改为正弦波，会得到怎么样的结果？
再次用Excel表格模拟如下，右侧波形图分别是Vin（蓝色波形）和DAC输出（橙色波形）：
图5 Excel模拟ΔΣ调制器过程，输入为正弦信号
可以看出，对于1 bit一阶ΔΣ调制器，它就像是脉冲密度调制PDM（Pulse Density Modulation），在输入信号的幅度越接近+Vref时，用越多“1”表示，在输入信号的幅度越接近-Vref时，用越多“0”表示。
WiKi百科上还列举了这种“1 bit一阶ΔΣ调制器”的公式，推算出图2中Yi与Xi的关系，以及Python代码实现，有兴趣可以参阅（详见参考资料[3]）。
频域表示
回到TI的文章（详见参考资料[1]）中，后续讲述的是这套ΔΣ调制器系统的频谱特性，它能将量化噪声的频谱成分推向高频区域：
图6 ΔΣ调制器的频谱特性，来源[1]
并阐述了不同阶数情况下的转移函数，以及对应的频谱特性：
图7 ΔΣ调制器不同阶数的频谱特性，来源[1]
可以看到阶数越大（与过往更多数据有关），量化噪声越集中于高频区域，这就是所谓的噪声整形Noise shaping。经过后续滤波，能过滤除噪声，有利于目标信号频谱区域内的信噪比。
小结
本文介绍了Delta-Sigma ADC中的ΔΣ调制器，通过ADI的在线演示（参考资料[2]）或自行编写Excel能够模拟“1 bit一阶ΔΣ调制器”的运作过程，对于这种调制器，其量化结果与PDM脉冲密度调制类似（参考资料[3]）。
关于Delta-Sigma ADC的详细介绍，可以查看TI的slyt423a和slyt438（参考资料[1]和[4]），其中讲述了过采样、噪声整形、数字/抽样滤波等内容。
参考资料
参考资料均可以通过搜索关键词获取，查阅原文：
- slyt423a: How delta-sigma ADCs work, Part 1
- https://www.analog.com/en/resources/interactive-design-tools/sigma-delta-adc-tutorial.html
- https://en.wikipedia.org/wiki/Pulse-density_modulation
- slyt438: How delta-sigma ADCs work, Part 2