JPhysA编辑优选：基于Toeplitz代数的体-边对应证明

JPhysA编辑优选：基于Toeplitz代数的体-边对应证明

Proof of bulk-edge correspondence for band topology by Toeplitz algebra
Zixian Zhou（周子贤） and Liang-Liang Wan（万亮亮）
通讯作者：

• 万亮亮，深圳技术大学

研究背景

体-边对应是拓扑能带理论的核心概念，即考虑边界，能隙中出现边缘态，并展现体拓扑行为，且与其他物理细节无关。这一现象不仅暗含了数学物理中重要的指标定理，还和量子Hall电导以及Majorana边模有着紧密的联系。因而，对体-边对应有一个清晰认识是至关重要的。

尽管已经有基于K-理论的体-边对应证明，但此类方法过于艰深，难以推广到其他物理体系。另一方面，物理学团体也为实现不同程度的严谨性和通用性的简明证明付出努力，比如，Green函数，散射理论，Atiyah-Singer指标定理等。然而，所有这类工作都采用了近似（如长波极限），存在局限性。因此，关键问题仍然存在：是否有一种严谨而简洁的方法证明能带系统的体-边对应，并可以很容易应用到其他物理情景中？

研究内容

本研究中，我们严格而简洁地证明了任意维度下复数类的体-边对应（bulk-edge correspondence, BEC）。具体地，对于任何有边的晶格上紧束缚模型可以用Toeplitz矩阵多项式表示。通过用平面波函数代替Toeplitz矩阵，边哈密顿H（有边缘）还原为体哈密顿h（无边缘），得到Toeplitz代数与Fourier级数的同态φ:T→C1(S1)。不借助K-理论或近似方法，我们发现了一个简单而强大的公式，

它意味着，用边哈密顿h表示的恰当物理量可以转换为体态的。因此，分别用h/H定义边模指标/体拓扑数，就可以通过代数和微积分轻松证明体、边拓扑数的等价性。

基于上述策略，我们首先研究AIII类奇数维手征模型，它们的体拓扑数——绕数可用h显式表达。而一维边模拓扑由Fredholm指标刻画；当维度更高时，我们也成功地定义了边模绕数，它可以用H表示。应用公式，即可证明AIII类的体绕数等于边模指标。另一方面，对于任意A类2n维（2nD）陈绝缘体都可以通过维度扩张，映射到（2n+1)D手征模型。经证明，陈绝缘体的陈数与构造的手征模型的绕数等价。陈绝缘体的边模指标也可由手征模型的边模指标诱导。因此，陈绝缘体的BEC继承了手征模型的结果。

总之，我们严格而简洁地证明了任意维度下所有复数类的BEC，这类方法能轻松的扩展到其他物理情形中，将对其他相关研究产生启发作用。

作者介绍

万亮亮 助理教授
深圳技术大学

• 万亮亮，深圳技术大学助理教授。长期从事腔光力学、拓扑分类、非厄米物理等方向的研究：建立了玻色激发的对称和拓扑分类框架；发现了量子压缩打开拓扑激发能隙效应；还解释了厄米玻色系统中的非厄米拓扑起源；基于Toeplitz代数，证明了能带拓扑的体-边对应关系。迄今为止，已经发表12篇学术论文，其中第一作者/通讯作者7篇。