假设检验：单/双变量假设检验

创作时间:

作者:

@小白创作中心

假设检验：单/双变量假设检验

引用

CSDN

https://m.blog.csdn.net/weixin_74268817/article/details/144330371

假设检验是统计学中用于判断样本数据与假设之间是否存在显著差异的重要方法。本文将详细介绍假设检验的基本概念、步骤以及单变量和双变量假设检验的具体方法，包括均值检验、比例检验和方差检验等。通过本文的学习，读者将能够掌握假设检验的基本原理和应用方法。

假设检验重要术语

原假设（H0）与备择假设（H1）
显著性水平（α）：常用值：0.05（5%）或 0.01（1%）。
统计量
第一类错误和第二类错误：
第一类错误 (α)：当 H0 为真时，错误地拒绝 H0。
第二类错误 (β)：当 H0 为假时，错误地接受 H0 。
权衡：降低 α 会增加 β，需要根据问题的重要性平衡两类错误。

假设检验的基本步骤

提出假设：建立两个互斥的假设，即原假设 H0 和备择假设 H1 。
选择检验方法（如 t-检验、卡方检验）。
设定显著性水平：通常取 α=0.05 或 α=0.01。
计算检验统计量和 p-值：从样本中计算得出用于验证假设的统计量，并得到 p-值。
作出决策：根据 p-值和 α 的比较结果，决定是否拒绝原假设。

单、双变量假设检验

一、均值检验

均值检验（Mean Test）是统计学中用来比较样本均值与总体均值，或者两个样本均值之间是否存在显著差异的一种方法。根据样本的大小和总体的方差是否已知，均值检验可以分为几种不同的类型，如Z检验、t检验等。

适用场景：
用于比较两组独立样本的均值是否相等。

示例应用：

营销分析：比较使用不同广告策略的两组消费者的平均购买额。
临床试验：检测新药组和对照组在治疗效果上的差异。
农业实验：比较两种施肥方式对作物产量的影响。

1、单样本均值检验

Z检验（总体方差已知）
当总体方差已知，且样本容量较大（通常n > 30）时，可以使用Z检验。Z检验的统计量为：
$$
Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}
$$
其中，$\bar{X}$是样本均值，$\mu$是总体均值，$\sigma$是总体标准差，n是样本容量。

t检验（总体方差未知）
当总体方差未知，且样本容量较小（通常n ≤ 30）时，可以使用t检验。t检验的统计量为：
$$
t = \frac{\bar{X} - \mu}{s / \sqrt{n}}
$$
其中，$\bar{X}$是样本均值，$\mu$是总体均值，$s$是样本标准差，n是样本容量。

2、两样本均值检验

当需要比较两个独立样本的均值是否存在显著差异时，可以使用两样本均值检验。根据两个样本的方差是否相等，可以分为等方差两样本t检验和不等方差两样本t检验。

等方差两样本t检验：当两个样本的方差相等时，可以使用等方差两样本t检验。统计量为：
$$
t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}
$$
其中，$\bar{X}_1$ 和 $\bar{X}_2$ 分别是两个样本的均值，$\mu_1$ 和 $\mu_2$ 分别是两个总体的均值，$s_p$ 是合并样本标准差，$n_1$ 和 $n_2$ 分别是两个样本的容量。
不等方差两样本t检验：当两个样本的方差不相等时，可以使用不等方差两样本t检验。统计量为：
$$
t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}
$$

二、比例假设

比例检验（Proportion Test）是一种用于检验样本中某个特定类别的比例是否与预期比例一致的统计方法。它广泛应用于分类数据分析，例如判断产品的合格率是否达到标准，或检测某种疾病的发生率是否符合预期。

示例应用

市场调查：检验某种产品的市场占有率是否达到目标值。
医学研究：比较两种治疗方案的治愈率。
质量检测：检查生产线产品的不合格率是否低于容许值。

1、单样本比例检验

检验样本比例是否与某个指定值（理论比例）相等。

原假设 H0 ：样本比例 p 与理论比例 p0相等，即 H0:p=p0
备择假设 H1 ：样本比例 p 与理论比例 p0 不相等。

检验统计量（其中 $\hat{p}$ 是样本比例）：
$$
Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}
$$

2、双样本比例检验

检验两个独立样本的比例是否相等。

原假设 H0 ：两个样本比例 p1 和 p2 相等，即 H0:p1=p2
备择假设 H1 ：两个样本比例不相等，或者 p1>p2或 p1<p2 。

检验统计量：
$$
Z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}}
$$
其中，$\hat{p} = \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2}$，$x_1$ 和 $x_2$ 分别是两个样本中成功事件的数量。