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IIR数字滤波器设计（模拟原型低通滤波器设计）

创作时间:

作者:

@小白创作中心

IIR数字滤波器设计（模拟原型低通滤波器设计）

引用

CSDN

https://blog.csdn.net/weixin_43388156/article/details/137888435

IIR（无限脉冲响应）数字滤波器的设计是数字信号处理中的重要课题，而模拟原型低通滤波器的设计则是IIR滤波器设计的基础。本文将详细介绍巴特沃斯、切比雪夫和椭圆三种常见的模拟原型低通滤波器的设计方法，包括其频域响应特性、设计步骤和参数计算公式。

一、滤波器设计指标概述

假设模拟低通滤波器的技术指标表示如下：

$\omega_p$：通带截止频率；
$\omega_s$：阻带介质频率；
$\delta_p$：通带波动；
$\delta_s$：阻带波动。

则通带最大衰减（dB）为：
$$
A_p=-20\log(1-\delta_p)^2 \tag{1}
$$

阻带最小衰减为：
$$
A_s=-20\log(1-\delta_s)^2 \tag{2}
$$

模拟滤波器主要有巴特沃斯（Butterworth）滤波器、切比雪夫（Chebyshev）滤波器和椭圆滤波器三种类型。接下来将介绍这几种模拟低通滤波器的设计方法。

二、模拟低通滤波器设计

1. 巴特沃斯模拟低通滤波器设计

巴特沃斯模拟低通滤波器的频域响应满足：
$$
|H(j\omega)|^2=\frac{1}{1+(\omega/\omega_c)^{2N}} \tag{3}
$$

其中，$N$为滤波器阶数，$\omega_c$为3dB截止频率。

巴特沃斯模拟低通滤波器频域特性如下：

$|H(j0)|=1, |H(j\infty)|=0, A(\omega_c)=-20\log\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 3dB$
幅频响应单调下降
具有最大平坦性，即$|H(e^{j\omega})|^2$在$\omega=0$点处1至$2N-1$阶导数为零。

巴特沃斯模拟低通滤波器设计步骤如下：

确定模拟低通滤波器的阶数$N$
$$
N\geq\frac{\log\left(\frac{10^{0.1A_s}-1}{10^{0.1A_p}-1}\right)}{2\log(\omega_s/\omega_p)} \tag{4}
$$

对巴特沃斯低通滤波器，
$$
A(\omega)=-10\log|H(j\omega)|^2=10\log\left[1+(\omega/\omega_c)^{2N}\right] \tag{5}
$$

给定滤波器设计指标$(\omega_p, A_p)$和$(\omega_s, A_s)$，则有
$$
\begin{cases}
A_p=10\log\left[1+(\omega_p/\omega_c)^{2N}\right]\
A_s=10\log\left[1+(\omega_s/\omega_c)^{2N}\right]
\end{cases} \tag{6}
$$

$N$取正整数，所以$N$的值向上取整。结合式（6）可得$N$的取值范围如式（4）所示。

确定模拟低通滤波器的3dB截止频率$\omega_c$
$$
\frac{\omega_p}{(10^{0.1A_p}-1)^{\frac{1}{2N}}}\leq\omega_c\leq\frac{\omega_s}{(10^{0.1A_s}-1)^{\frac{1}{2N}}} \tag{7}
$$

同样，$\omega_c$的取值范围也可以通过式（5）得到。$N$一般是向上取整得到的值，因此$\omega_c$一般不是一个固定值，而是在一个范围内进行取值。（下图展示了$\omega_c$取值情况不同时对滤波器过度带的影响）

确定模拟低通滤波器系统函数的极点
$$
s_k=\omega_ce^{j\pi\left(\frac{1}{2}+\frac{2k-1}{2N}\right)},\quad k=1,2,\cdots,N \tag{8}
$$

实系数模拟系统的频率响应具有共轭对称性，即
$$
|H(j\omega)|^2=H(j\omega)H^*(j\omega)=H(j\omega)H(-j\omega)=H(s)H(-s)|_{s=j\omega} \tag{9}
$$

根据式（3）和式（9），可以求得系统函数的极点$s_k$（位于$s$左半平面）。

确定模拟低通滤波器的系统函数$H_L(s)$
$$
H_L(s)=\prod_{k=1}^N\frac{-s_k}{s-s_k} \tag{10}
$$

2. 切比雪夫模拟低通滤波器设计

切比雪夫滤波器分为切比雪夫Ⅰ型和切比雪夫Ⅱ型两种。切比雪夫Ⅰ型滤波器的幅频响应在通带内上下波动，在阻带内单调下降；切比雪夫Ⅱ型滤波器的幅频响应在通带内单调下降，在阻带内上下波动。这里对两种滤波器的设计分别进行介绍。

2.1 切比雪夫Ⅰ型模拟低通滤波器的设计

切比雪夫Ⅰ型模拟低通滤波器的频域响应满足：
$$
|H(j\omega)|^2=\frac{1}{1+\varepsilon^2C_N^2(\omega/\omega_c)} \tag{11}
$$

其中，$N$：滤波器阶数；$\varepsilon$：通带波纹；$\omega_c$：通带截止频率；
$$
C_N(x)=
\begin{cases}
\cos[N,\arccos(x)]\qquad, |x|\leq 1\
\cosh[N,\arccosh(x)]\quad |x|>1
\end{cases} \tag{12}
$$

切比雪夫Ⅰ型模拟低通滤波器的频域特性如下：

$0\leq\omega\leq\omega_c$时，$|H(j\omega)|^2$在$1$和$\frac{1}{1+\varepsilon^2}$间等幅振荡；
$\omega\geq\omega_c$时，$|H(j\omega)|^2$单调下降（$N$越大，下降越快）；
$|H(j\omega)|^2$在$\omega=0$时的值为：
$$
|H(j0)|^2=
\begin{cases}
\qquad1\quad;;;, \qquad N为奇数\
1/(1+\varepsilon^2), \qquad N为偶数
\end{cases}
$$

切比雪夫Ⅰ型模拟低通滤波设计步骤如下：

通过通带截止频率$\omega_p$确定$\omega_c$
$$
\omega_c=\omega_p \tag{13}
$$
通过通带衰减$A_p$确定$\varepsilon$
$$
\varepsilon=\sqrt{10^{0.1A_p}-1} \tag{14}
$$

对切比雪夫Ⅰ型低通滤波器，
$$
A(\omega)=-10\log|H(j\omega)|^2=10\log\left[1+\varepsilon^2C_N^2(\omega/\omega_c)\right] \tag{15}
$$

$\omega_c=\omega_p$时，$A_p=10\log(1+\varepsilon^2)$，所以$\varepsilon=\sqrt{10^{0.1A_p}-1}$。

通过滤波器通带、阻带指标确定滤波器阶数$N$
$$
N\geq\frac{\text{arccosh}\left(\frac{1}{\varepsilon}\sqrt{10^{0.1A_s}-1}\right)}{\text{arccosh}(\omega_s/\omega_p)} \tag{16}
$$

$\omega_s$为阻带截止频率，$A_s$是阻带最小衰减。在$\omega=\omega_s$、$\omega_c=\omega_p$时可得：
$$
A_s=-10\log\frac{1}{1+\varepsilon^2C_N^2(\omega_s/\omega_p)} \tag{17}
$$

求解可以得到式（16），$N$向上取整。

通过$|H(j\omega)|^2$求模拟低通滤波器的极点
$$
s_k=\sigma_k+j\omega_k,\quad k=1,2,\cdots,N \tag{22}
$$

其中，$\beta=\frac{1}{N}\text{arcsinh}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)$，$\sigma_k$、$\omega_k$可以表示为：
$$
\begin{cases}
\sigma_k=-\sinh(\beta)\sin\frac{(2k-1)\pi}{2N}\
\omega_k=-\cosh(\beta)\cos\frac{(2k-1)\pi}{2N}
\end{cases} \tag{23}
$$

通过极点确定滤波器的系统函数$H_L(s)$
$$
H_L(s)=\prod_{k=1}^N\frac{H_0}{s-s_k} \tag{24}
$$

2.2 切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的设计

切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的频域响应满足：
$$
|H(j\omega)|^2=1-\frac{1}{1+\varepsilon^2C_N^2(\omega_c/\omega)}=\frac{\varepsilon^2C_N^2(\omega_c/\omega)}{1+\varepsilon^2C_N^2(\omega_c/\omega)} \tag{25}
$$

其中，$N$：滤波器阶数；$\varepsilon$：阻带波纹；$\omega_c$：阻带截止频率；

切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的频域特性如下：

$\omega\geq\omega_c$时，$0\leq |H(j\omega)|^2\leq\frac{\varepsilon^2}{1+\varepsilon^2}$；
对任意$N$，$\omega_c$和$\varepsilon$大于零时，$H(j0)=1$；
在通带$0\leq\omega\leq\omega_c$时，$|H(j\omega)|^2$单调下降。

切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波设计步骤如下：

通过阻带截止频率$\omega_s$确定$\omega_c$
$$
\omega_c=\omega_s \tag{26}
$$
通过阻带衰减$A_s$确定$\varepsilon$
$$
\varepsilon=\frac{1}{\sqrt{10^{0.1A_s}-1}} \tag{27}
$$

对切比雪夫Ⅱ型低通滤波器，
$$
A(\omega)=-10\log|H(j\omega)|^2=10\log\left[1+\frac{1}{\varepsilon^2C_N^2(\omega_c/\omega)}\right] \tag{28}
$$

$\omega_c=\omega_s$时，$A_s=10\log\left(1+\frac{1}{\varepsilon^2}\right)$，所以$\varepsilon=\frac{1}{\sqrt{10^{0.1A_s}-1}}$。

通过滤波器通带、阻带指标确定滤波器阶数$N$
$$
N\geq\frac{\text{arccosh}\left(\frac{1}{\varepsilon\sqrt{10^{0.1A_p}-1}}\right)}{\text{arccosh}(\omega_s/\omega_p)} \tag{29}
$$

$\omega_p$为通带截止频率，$A_p$是通带最大衰减。在$\omega=\omega_p$、$\omega_c=\omega_s$时，
$$
A_p=10\log\left[1+\frac{1}{\varepsilon^2C_N^2(\omega_s/\omega_p)}\right] \tag{30}
$$

求解可以得到式（29），$N$向上取整。

通过$|H(j\omega)|^2$求模拟低通滤波器的极点
$$
s_k=\sigma_k+j\omega_k,\quad k=1,2,\cdots,N \tag{31}
$$
通过极点确定滤波器的系统函数$H_L(s)$
$$
H_L(s)=\prod_{k=1}^N\frac{H_0}{s-s_k} \tag{32}
$$

3. 椭圆模拟低通滤波器的设计

椭圆模拟低通滤波器的频域响应满足：
$$
|H(j\omega)|^2=\frac{1}{1+\varepsilon^2R_N^2(\omega/\omega_c)} \tag{33}
$$

其中，$R_N(x)$为$N$阶雅可比椭圆函数。

椭圆模拟低通滤波器的频域特性如下：

$|\omega|<\omega_p$时，$\frac{1}{1+\varepsilon^2}\leq|H(j\omega)|^2\leq 1$
$\frac{\omega_c}{k}\leq |\omega|<\infty$时，$0\leq|H(j\omega)|^2\leq\frac{1}{1+(\varepsilon/k_1)^2}$
$|H(j0)|^2=\begin{cases}1/(1+\varepsilon^2),,\quad N为偶数\ \qquad1\qquad ,\quad N为奇数\end{cases}$

椭圆模拟低通滤波器设计步骤如下：

通过通带截止频率$\omega_p$确定$\omega_c$
$$
\omega_c=\omega_p \tag{34}
$$
通过通带衰减$A_p$确定$\varepsilon$
$$
\varepsilon=\frac{1}{\sqrt{10^{0.1A_p}-1}} \tag{35}
$$
通过通带和阻带截止频率确定$k$
$$
k=\frac{\omega_p}{\omega_s} \tag{36}
$$
通过阻带衰减$A_s$确定$k_1$
$$
k_1=\frac{\varepsilon}{\sqrt{10^{0.1A_s}-1}} \tag{37}
$$
确定滤波器阶数$N$
$$
N=\frac{K(k)K(\sqrt{1-k_1^2})}{K(\sqrt{1-k^2})K(k_1)} \tag{38}
$$