线性变换的特征值与特征向量

线性变换的特征值与特征向量

线性变换的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，它们不仅在理论研究中占有重要地位，而且在实际应用中也有广泛的应用。本文将从定义出发，详细阐述线性变换的特征值与特征向量的概念、性质及其求解方法。

线性变换的特征值与特征向量的定义

设V是数域F上的一个线性空间，σ是V上的一个线性变换.如果存在数域F中的一个数λ与线性空间V中一个非零向量α，使得
σ(α)=λα（6-9）
则称数λ为线性变换σ的一个特征值，并且称非零向量α为线性变换σ属于特征值λ的一个特征向量.

从几何的角度上讲，式（6-9）中的非零向量α，经过线性变换σ的作用以后，保持在同一条直线上，或者方向相同，但长度变为原来的λ（λ>0）倍；或者方向相反，但长度变为原来的|λ|（λ<0）倍；或者将α变成零向量（λ=0）.

与矩阵的特征值和特征向量一样，线性变换的特征向量是非零向量，并且一个特征向量只能属于一个特征值，从而特征值由特征向量所唯一决定；但是，特征向量却不是由特征值唯一决定的.

线性变换的特征值与特征向量的求解方法

下面，利用线性变换与矩阵之间的对应，介绍求得线性变换的特征值和特征向量的方法.

设V是数域F上的一个n维线性空间，α1,α2,…,αn是V的一组基，σ是V上的一个线性变换，矩阵A为σ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示.如果数λ是线性变换σ的一个特征值，非零向量α是σ属于特征值λ的一个特征向量，即σ，λ，α满足关系
σ(α)=λα设α在基α1,α2,…,αn下的坐标向量为(k1,k2,…,kn)
T.根据第五章的定理5-4，有σ(α)在α1,α2,…,αn下的坐标向量而λα在基α1,α2,…,αn的坐标向量为λ(k1,k2,…,kn)
T.由一个向量在一组基下的坐标是唯一的，得到因为α是非零向量，故其坐标向量(k1,k2,…,kn)
T也是非零的.因此，上式说明λ是矩阵A的一个特征值，α在基α1,α2,…,αn下的坐标向量(k1,k2,…,kn)
T是矩阵A属于特征值λ的一个特征向量.

反之，如果λ是矩阵A的一个特征值，非零向量(a1,a2,…,an)
T是矩阵A属于特征值λ的一个特征向量，即再次根据第五章的定理5-4，有因为(a1,a2,…,an)
T非零，故ξ≠0.因此，λ是线性变换σ的一个特征值，非零向量ξ是σ属于特征值λ的一个特征向量.

于是，把上面的结论综合起来，即得下面的定理.

定理6-7设V是数域F上的一个n维线性空间，α1,α2,…,αn是V的一组基，σ是V上的一个线性变换，矩阵A为σ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示.则

（1）数λ是线性变换σ的一个特征值的充分必要条件是λ是矩阵A的特征值.

（2）当λ是σ的一个特征值时，α为σ属于λ的一个特征向量的充分必要条件是α在基α1,α2,…,αn下的坐标向量为A属于λ的一个特征向量.

由定理可知，我们可以将求一个线性变换的特征值与特征向量，转化成计算这个线性变换在一组取定基下的矩阵表示的特征值与特征向量的问题.

提示但是，一个线性变换的矩阵表示是与线性空间的一组基联系在一起的，随着线性空间的基的变化，矩阵表示可能是不同的.那么，将求线性变换的特征值与特征向量转化为求矩阵的特征值与特征向量，会不会出现歧义呢？回答是否定的.这是因为，根据第五章的定理5-6，同一个线性变换在不同基下的矩阵表示是相似的，而根据本章第一节的定理6-2，相似矩阵的特征值相同.因此，线性变换的矩阵表示的特征值与基的选取无关.于是，通常也将线性变换σ的矩阵表示A的特征多项式和特征方程，称为线性变换σ的特征多项式和特征方程.

于是，求线性空间V上一个线性变换σ的特征值与特征向量的具体步骤如下：

（1）在V中取定一组基α1,α2,…,αn，写出σ在这组基下的矩阵表示A，即A满足σ(α1,α2,…,αn)=(α1,α2,…,αn)A

（2）求出矩阵A的特征多项式fA(λ)=λE-A在数域F中全部根，这就是A的全部特征值.

（3）对于每个特征值λ=λ0，求出齐次线性方程组(λ0E-A)X=0
的一个基础解系η1,η2,…,ηs，从而k1η1+k2η2+…+ksηs（k1,k2,…,ks不同时为0）即为矩阵A属于特征值λ0的所有特征向量.由于η1,η2,…,ηs∈Fn，不妨设ηi=(a1i,a2i,…,ani)
T，i=1,2,…,s
令则k1ξ1+k2ξ2+…+ksξs（k1,k2,…,ks不同时为0）即为线性变换σ属于特征值λ0的所有特征向量.

设V是数域F上的一个n维线性空间，kι（k∈F任意的数）是V上的数乘变换，即
kι(α)=kα,α∈V试写出kι的特征值和特征向量.

解由kι的定义可知，kι在V的任意一组基下的矩阵表示均为kE.而矩阵kE的特征多项式为|λE-kE|=(λ－k)n
因此，k是线性变换kι唯一的特征值.并且，对于任意的0≠α∈V，均有kι(α)=kα.于是，V中的所有非零向量都是kι属于特征值k的特征向量.

【例6-6】

线性变换的特征值与特征向量的性质

二、根据定理6-7，数λ为线性空间V上线性变换σ的一个特征值的充分必要条件是λ为σ的矩阵表示A的特征值，并且这种对应与V的基的选取无关.而在第五章第二节的定理5-3和定理5-5中还指出，在给定的一组基下，n维线性空间V上所有线性变换的集合End(V)和数域F上所有n阶方阵（线性变换的矩阵表示）的集合Mn(F)是一一对应的，且这种对应保持End(V)中的运算.因此，矩阵的特征值与特征向量的一些性质在线性变换的特征值和特征向量中也是成立的.在这里，我们不加证明地列出相应的结论.

定理6-8设λ是线性变换σ的特征值，α是σ属于λ的特征向量，则有

(1)对于任意的常数k，kλ是kσ的特征值，且α是kσ属于kλ的特征向量.

(2)对于任意的正整数m，λm是σm的特征值，且α是σm属于λm的特征向量.

(3)对于φ(x)=asxs+as－1xs－1+…+a1x+a0，φ(λ)是φ(σ)=a
sσs+as－1σs－1+…+a1σ+a0ι的特征值，且α是φ(σ)属于φ(λ)的特征向量.

(4)当σ是可逆线性变换时，λ－1是σ－1
的特征值，且α是σ－1属于λ－1的特征向量.

定理6-9
设λ1,λ2,…,λs是线性变换σ的互不相同的s个特征值，α1,α2,…,αs为分别与之对应的特征向量，则α1,α2,…,αs线性无关.换句话说，属于不同特征值的特征向量线性无关.

定理6-10（哈密尔顿凯莱定理）设σ是n维线性空间V上的一个线性变换，fA(λ)=λn+an－1λn－1+…+a1λ+a0
是σ的特征多项式，即σ的矩阵表示A的特征多项式，则有fA(σ)=σn+an－1σn－1+…+a1σ+a0ι=0
右端的0为V上的零变换.

设V是数域F上的一个n维线性空间，σ,τ是V上的两个可逆的线性变换.证明：στ和τσ具有相同的特征值.

证明设向量组α1,α2,…,αn是V的一组基，且σ和τ在这组基下的矩阵表示分别为A和B.根据第五章第二节的定理5-5，A和B为可逆矩阵，并且στ和τσ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示分别为AB和BA.因此，只需证明AB和BA具有相同的特