定积分存在定理和不定积分存在定理分别是什么

定积分存在定理和不定积分存在定理分别是什么

引用

搜狗百科

1.

https://wenwen.sogou.com/z/q899464106.htm

定积分和不定积分是微积分学中的两个重要概念。定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限；不定积分则是导数的逆运算。它们之间存在着密切的关系，这种关系由微积分基本定理确定。本文将详细解释定积分存在定理和不定积分存在定理，并探讨它们之间的联系。

定积分与不定积分的基本概念

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

定积分与不定积分的关系

根据牛顿-莱布尼兹公式，许多函数的定积分可以通过计算不定积分来简单计算。这里要注意不定积分和定积分的关系：定积分是一个数，不定积分是一个表达式，它们只是一个数学计算关系。

对于连续函数必须有定积分和不定积分；如果在有限区间[a，b]中只有有限个间断点且函数是有界的，则存在定积分；如果有跳跃点、可移动点和无限个间断点，原函数不存在，即不定积分不存在。

具体例子说明

例子1：紧集上的连续函数必定可积

根据定理"只有有限个第一类不连续点的有界函数在有限区间上是可积的",题中的f(x)在任意有限区间[a,b]上总是可积的。

例子2：有界函数的可积性

答案是肯定的,
例如定义函数g(x)=1,若x是[0,1]中的有理数;g(x)=0,若x是[0,1]中的无理数。
显然g(x)是有界函数,并且有无穷多个间断点。

参考资料

• 百度百科-定积分
• 百度百科-不定积分