树的直径计算：算法详解与实现

树的直径计算：算法详解与实现

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/lzyzuixin/article/details/139309885

在图论中，树的直径是一个关键概念，它表示树中任意两点间最长路径的长度。对于给定的树T=(V,E)，其中V是顶点集，E是边集，树的直径定义为所有顶点对(u,v)之间最短路径的最大值。计算树的直径在多个领域都有广泛应用，如网络设计、生态学研究中的物种分布分析，以及计算机科学中的路由优化等。本文将详细介绍一种高效计算树的直径的算法，并提供伪代码和C语言实现，同时分析算法的运行时间。

1. 引言

树的直径问题可以形式化为：给定一棵树T，找到树中任意两点间的最长路径。这个问题看似简单，但由于树的结构特性（无环、连通、n-1条边），直接枚举所有顶点对并计算它们之间的最短路径是不可行的，特别是对于大规模树结构而言。因此，我们需要一种更高效的算法。

2. 算法概述

我们采用基于深度优先搜索（DFS）的算法来计算树的直径。算法的核心思想是，从树中任意一点出发，通过DFS找到距离该点最远的点（称为“叶节点”），然后从该叶节点再次进行DFS，找到距离它最远的点。这两个叶节点之间的路径即为树的直径。

具体步骤如下：

1. 选择树中的任意一个节点作为起点，进行第一次DFS，找到距离起点最远的节点A。
2. 从节点A开始进行第二次DFS，找到距离A最远的节点B。
3. A和B之间的路径长度即为树的直径。

这种方法之所以有效，是因为树的直径的两个端点一定是叶节点，且从任意节点出发，通过两次DFS总能找到直径的两个端点。

3. 伪代码实现

function DFS(node, parent, depth):
    global maxDepth, farthestNode
    if depth > maxDepth:
        maxDepth = depth
        farthestNode = node
    for each child in node.children:
        if child != parent:
            DFS(child, node, depth + 1)

function diameterOfTree(root):
    global maxDepth, farthestNode
    maxDepth = -1
    farthestNode = None
    DFS(root, None, 0)  # 第一次DFS，找到最远的节点
    maxDepth = -1
    DFS(farthestNode, None, 0)  # 第二次DFS，从第一次找到的最远节点出发
    return maxDepth

4. C语言实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MAXN 100005

int n, maxDepth, farthestNode;
int head[MAXN], to[MAXN * 2], nxt[MAXN * 2], tot;
int depth[MAXN];

void addEdge(int u, int v) {
    to[tot] = v;
    nxt[tot] = head[u];
    head[u] = tot++;
}

void DFS(int node, int parent, int d) {
    if (d > maxDepth) {
        maxDepth = d;
        farthestNode = node;
    }
    for (int i = head[node]; i != -1; i = nxt[i]) {
        int child = to[i];
        if (child != parent) {
            DFS(child, node, d + 1);
        }
    }
}

int diameterOfTree(int root) {
    maxDepth = -1;
    farthestNode = -1;
    DFS(root, -1, 0);  // 第一次DFS，找到最远的节点
    maxDepth = -1;
    DFS(farthestNode, -1, 0);  // 第二次DFS，从第一次找到的最远节点出发
    return maxDepth;
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    memset(head, -1, sizeof(head));
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int u, v;
        scanf("%d%d", &u, &v);
        addEdge(u, v);
        addEdge(v, u);
    }
    printf("%d\n", diameterOfTree(1));
    return 0;
}

5. 算法分析

该算法的时间复杂度为O(n)，其中n是树中节点的数量。这是因为算法只需要进行两次DFS遍历，每次遍历的时间复杂度都是O(n)。空间复杂度主要取决于DFS递归调用的深度，最坏情况下为O(n)。

6. 结论

通过基于DFS的算法，我们可以高效地计算出树的直径。这种方法不仅适用于二叉树，也适用于一般的无向树结构。在实际应用中，树的直径计算可以用于网络拓扑分析、路由优化、以及各种需要了解图结构特性的场景。