新手村：协方差、方差、标准差的作用

新手村：协方差、方差、标准差的作用

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/k316378085/article/details/146328330

在数据分析和统计学中，协方差、方差和标准差是衡量数据分布特征的重要指标。本文将从基本概念出发，通过理论推导、实例计算和代码演示，帮助读者全面理解这些统计量的含义及其应用场景。

前置条件

• 初步了解基本数学运算（加、减、乘、除）
• 对统计学有一定兴趣
• 掌握基础编程概念（非必须，但有助于理解代码演示）

一、介绍与预备知识

二、方差

三、协方差

四、标准差

五、平均绝对偏差

平均绝对偏差（Mean Absolute Deviation, MAD）是衡量一组数值与其平均值之间差异的另一种方法。与方差不同，它使用绝对值来避免正负误差相互抵消的情况，因此在某些情况下可能更直观地反映数据的离散程度。

$$\text{MAD} = \frac{\sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|}{n}$$

其中：

• $x_i$ 是数据集中的每一个观测值，
• $\bar{x}$ 是数据集的平均值，
• $n$ 是数据集中观测值的数量。

与方差和标准差的比较

• 方差：计算的是每个数据点与平均值之差的平方的平均值。由于采用了平方，方差对异常值更加敏感。
• 标准差：是方差的平方根，提供了一个与原始数据相同单位的度量。
• 平均绝对偏差：直接使用绝对值，不涉及平方或开方运算，因此它不容易受到极端值的影响，并且更容易解释。

应用场景

平均绝对偏差常用于需要对数据波动性进行描述但又希望避免受极端值过大影响的情景中。例如，在财务分析中，MAD可以用来评估投资回报率的稳定性；在预测模型中，它可以作为衡量预测误差的一个指标。

示例

假设我们有一个简单的数据集：$X = [1, 2, 3, 4, 5]$

1. 首先计算这个数据集的平均值：$\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3$
2. 然后计算每个数据点与平均值之间的绝对差，并求这些绝对差的平均值：

$$\text{MAD} = \frac{|1-3| + |2-3| + |3-3| + |4-3| + |5-3|}{5} = \frac{2+1+0+1+2}{5} = 1.2$$

因此，该数据集的平均绝对偏差为1.2。这表示在这个数据集中，一个典型的数值偏离其平均值大约1.2个单位。

通过理解和应用平均绝对偏差，我们可以更好地了解数据集内数据分布的紧密程度，以及识别出那些可能对整体分析造成误导的数据点。这对于数据分析、质量控制等领域尤为重要。

六、代码演示教程

import numpy as np
data = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
variance = np.var(data)
std_dev = np.std(data)
print(f"方差: {variance}, 标准差: {std_dev}")

七、后续练习题

• 计算给定数据集的方差、标准差
• 比较两个不同数据集的标准差并讨论其含义

八、下一阶段学习内容

• 学习概率分布
• 探索更复杂的统计模型如回归分析

九、术语和术语解释

十、重要问题解答

1. 问：为什么要用方差而不是直接用平均绝对偏差？
   答：因为方差能更好地反映数据的离散情况，特别是对极端值敏感。

2. 问：协方差为正或负意味着什么？
   答：正表示两个变量倾向于同向变动；负表示反向变动。