引力系统的位力定理

引力系统的位力定理

位力定理是描述天体运动中能量关系的重要定理，它揭示了总能量、动能的周期平均值和引力势能的周期平均值之间的关系。本文将从动能的周期平均值出发，推导位力定理，并解释其物理意义。

利用动能的周期平均值引入了位力的概念，得到了位力定理，它反映了总能量、动能的周期平均值和引力势能的周期平均值这三个物理量之间的关系。

在讨论天体运动的能量和轨道的问题中，我们曾经得到，当天体绕太阳做圆轨道运动时，它的引力势能是总能量的两倍：由此得到，在圆轨道的条件下，天体运动的动能刚好等于总能量的绝对值，或者等于引力势能的绝对值的一半：

这个关系显示，天体的总能量越低，它的动能就越大。

对于椭圆轨道，天体运动的速率和动能不是常量，动能与总能量 (是一个定值) 之间就不再存在这样简单的关系了。但是，在天体运动的问题中，由于并不存在所谓 “第一推动” 因素，因此，天体运动的动能必定是从它的引力势能中提取出来的。这种情况启发我们，动能与总能量和势能之间必定存在某种关系。

由于天体在运动的过程中总能量守恒，而动能在一个周期内是不断变化的，因此，想要得到动能与总能量之间的关系，一个自然的猜测就是，这种关系只能存在于动能的周期平均值与总能量之间：先把上式中的积分算出来，为了书写方便，省略积分的上下限：最后一个等号的第一项是一个全微分的定积分，其不定积分的结果是 。考虑到天体经过一个周期后，速度和位置恢复原值，第一项的积分结果必定等于零：由此得到速度平方的周期平均值：于是，动能的周期平均值在上述表达式中，

是一个新的物理量，被称为 “均位力积”，简称 “位力”。利用万有引力和引力势能的表达式，可以得到位力定义式中的被积函数：这就得到了动能的周期平均值：

它与引力势能的周期平均值的关系，正好符合圆轨道运动时动能与引力势能所满足的关系 (1) 式。

由于在天体的运动过程中总能量守恒，因此，即使动能和引力势能在不断地发生变化，但两者之和却是恒定不变的 (等于总能量)。利用这个性质，可以得到动能和引力势能两者的周期平均值之和也正好等于总能量：结合 (3) 式，马上可以得到：

上述表达式反映了动能的周期平均值与总能量的关系，以及与引力势能的周期平均值的关系，被称为位力定理，它是由万有引力主导的系统具有的一个重要性质。

在早期的教科书中，位力和位力定理各自有一个不同的名称，分别被称为维里和维里定理，维里是 Virial 的音译。后来，人们注意到，在位力的定义式 (2) 式中，定积分内的被积函数是位置矢量与力的标量积。把 Virial 翻译成位力，意译与音译结合，能更清晰地表达出这个物理量的本质。不过，即使这样，仍然会有不少场合使用维里这个名称。

本文原文来自360doc.com