二重积分计算方法详解
二重积分计算方法详解
10.2 二重积分计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
在讨论二重积分的计算问题时，我们假定 $f(x,y) \ge 0$。设积分区域 $D$ 可以用不等式来表示：
如图 10-4 所示，其中函数 $\varphi_1(x)$ 和 $\varphi_2(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续。
图 10-4
按照二重积分的几何意义，二重积分的值等于以 $D$ 为底，以曲面 $z=f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体的体积。我们可以应用第六章中计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法来计算这个曲顶柱体的体积。
计算截面面积
图 10-5
一般地，过区间 $[a,b]$ 上任一点 $x$ 且平行于 $y0z$ 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为：
于是，应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体体积为：
这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式：
上式右端的积分叫做先对 $y$，后对 $x$ 的二次积分。就是说，先把 $x$ 看做常数，把 $f(x,y)$ 只看做 $y$ 的函数，并对 $y$ 计算从 $\varphi_1(x)$ 到 $\varphi_2(x)$ 的定积分；然后把算得的结果（是 $x$ 的函数）再对 $x$ 计算在区间 $[a,b]$ 上的定积分。这个先对 $y$，后对 $x$ 的二次积分也常记作：
因此，等式也可以写成：
这就是把二重积分化为先对 $y$，后对 $x$ 的二次积分的公式。在上述讨论中，我们假定 $f(x,y) \ge 0$，但实际上公式的成立并不受此条件限制。
类似地，如果积分区域 $D$ 可以用不等式表示：
如图 10-6 所示，其中函数 $\psi_1(y)$ 和 $\psi_2(y)$ 在区间 $[c,d]$ 上连续，那么就有：
图 10-6
上式右端的积分叫做先对 $x$，后对 $y$ 的二次积分，这个积分也常记作：
因此，等式也可以写成：
这就是把二重积分化为先对 $x$，后对 $y$ 的二次积分的公式。
以后我们称图 10-4 所示的积分区域为 X 型区域，图 10-6 所示的积分区域为 Y 型区域。应用公式时，积分区域必须是 X 型区域。 X 型区域 $D$ 的特点是：穿过 $D$ 内部且平行于 $y$ 轴的直线与 $D$ 的边界相交不多于两点；而用公式时，积分区域必须是 Y 型区域。 Y 型区域 $D$ 的特点是：穿过 $D$ 内部且平行于 $x$ 轴的直线与 $D$ 的边界相交不多于两点。
如果积分区域 $D$ 如图 10-7 那样，既有一部分使穿过 $D$ 内部且平行于 $y$ 轴的直线与 $D$ 的边界相交多于两点，又有一部分使穿过 $D$ 内部且平行于 $x$ 轴的直线与 $D$ 的边界相交多于两点，那么 $D$ 既不是 X 型区域，又不是 Y 型区域。对于这种情形，可以把 $D$ 分成几部分，使每个部分是 X 型区域或是 Y 型区域。例如，在图 10-7 中，把 $D$ 分成三部分，它们都是 X 型区域，从而在这三部分上的二重积分都可应用公式。各部分上的二重积分求得后，根据二重积分的性质，它们的和就是在 $D$ 上的二重积分。
图 10-7 和 图 10-8
将二重积分化为二次积分时，确定积分限是一个关键。积分限是根据积分区域 $D$ 来确定的，先画出积分区域 $D$ 的图形。假如积分区域 $D$ 是 X 型的，如图 10-8 所示，在区间 $[a,b]$ 上任意取定一个 $x$ 值，积分区域上以这个 $x$ 值为横坐标的点在一段直线上，这段直线平行于 $y$ 轴，该线段上点的纵坐标从 $\varphi_1(x)$ 变到 $\varphi_2(x)$，这就是公式中先把 $x$ 看做常量而对 $y$ 积分时的下限和上限。因为上面的 $x$ 值是在 $[a,b]$ 上任意取定的，所以再把 $x$ 看做变量而对 $x$ 积分时，积分区间就是 $[a,b]$。
总结
通过将二重积分化为两次单积分，我们可以更方便地计算复杂区域和函数的积分值。上述方法展示了如何利用直角坐标来处理二重积分问题，并且说明了不同类型区域的处理方法。
例题讲解
图 10-10 和 图 10-11 分别显示了用两种方法计算该积分。
解法一
先画出积分区域 $D$（如图 10-10 所示）。$D$ 是 X 型的，$D$ 上的点的横坐标的变动范围是区间 $[1,2]$。在区间 $[1,2]$ 上任意取定一个 $x$ 值，则 $D$ 上以这个 $x$ 值为横坐标的点在一段直线上，这段直线平行于 $y$ 轴，该线段上点的纵坐标从 $y=1$ 变到 $y=x$。利用公式 (2-1) 得：
解法二
如图 10-11 所示，积分区域 $D$ 是 Y 型的，$D$ 上的点的纵坐标的变动范围是区间 $[1,2]$。在区间 $[1,2]$ 上任意取定一个 $y$ 值，则 $D$ 上以这个 $y$ 值为纵坐标的点在一段直线上，这段直线平行于 $x$ 轴，该线段上点的横坐标从 $x=y$ 变到 $x=2$。于是，利用公式 (2-2) 得：
例 2 计算 $\iint_D y \sqrt{1 + x^2 - y^2} , d\sigma$，其中 $D$ 是由直线 $y=x$， $x=-1$ 和 $y=1$ 所围成的闭区域。
如图 10-12 所示，积分区域 $D$ 既是 X 型的，又是 Y 型的。
若利用公式 (2-1)，得：
若利用公式 (2-2)（图 10-13），就有：
其中关于 $x$ 的积分计算比较麻烦。所以这里用公式 (2-1) 计算较为方便。
例 3 计算 $\iint_D xy , d\sigma$，其中 $D$ 是由抛物线 $y^2=x$ 及直线 $y=x-2$ 所围成的闭区域。
画出积分区域 $D$ 如图 10-14 所示。$D$ 既是 X 型的，又是 Y 型的。若利用公式 (2-2)，则得：
若利用公式 (2-1) 来计算，由于在区间 $[0,1]$ 及 $[1,4]$ 上表示 $\varphi_1(x)$ 的式子不同，所以要用经过交点 $(1,-1)$ 且平行于 $y$ 轴的直线 $x=1$ 把区域 $D$ 分成 $D_1$ 和 $D_2$ 两部分（图 10-15），其中：
因此，根据二重积分的性质 2，就有：
由此可见，这里用公式 (2-1) 来计算需要化为两个二次积分。上述几个例子说明，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序。这时，既要考虑积分区域 $D$ 的形状，又要考虑被积函数 $f(x,y)$ 的特性。
例 4 求两个底圆半径都等于 $R$ 的直交圆柱面所围成的立体的体积。
解：设这两个圆柱面的方程分别为 $x^2 + y^2 = R^2$ 及 $x^2 + z^2 = R^2$。利用立体关于坐标平面的对称性，只要算出它在第一象限部分（图 10-16(a)）的体积 $V_1$，然后再乘 8 就行了。所求立体在第一象限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为：
如图 10-16(b) 所示，它的顶是柱面
于是：
利用公式 (2-1)，得：
从而所求立体的体积为：
总结
通过上述例题的讲解，我们可以看到，化二重积分为二次积分的方法在实际应用中是非常有效的。选择合适的积分次序以及将积分区域进行合理的划分，可以大大简化计算过程，准确地求出二重积分的值。
二、利用极坐标计算二重积分
在某些情况下，积分区域 $D$ 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，同时被积函数用极坐标变量 $r$ 和 $\theta$ 表达也比较简单。这时，可以考虑利用极坐标来计算二重积分。
二重积分的定义
按二重积分的定义：
假定从极点 $O$ 出发且穿过闭区域 $D$ 内部的射线与 $D$ 的边界曲线相交不多于两点。可以用以极点为中心的一族同心圆：$r=$ 常数 以及从极点出发的一族射线：$\theta=$ 常数，将 $D$ 分成若干个小闭区域。除了包含边界点的一些小区域外，小闭区域的面积 $\Delta \sigma_i$ 可计算如下：
在这些小闭区域内取圆周 $r=r_i$ 上的一点 $(r_i, \theta_i)$，该点的直角坐标为 $(r_i \cos \theta_i, r_i \sin \theta_i)$，则有：
于是：
例题讲解
例 5 计算 $\iint_D e^{-x^2 - y^2} , dA$，其中 $D$ 是由圆心在原点、半径为 $a$ 的圆周所围成的闭区域。
在极坐标系中，闭区域 $D$ 可表示为：
由公式：
计算如下：
于是：
例 6 求球体 $x^2 + y^2 + z^2 \le 4a^2$ 被圆柱面 $x^2 + y^2 = 2ax$ 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。
如图 10-23 所示：
在极坐标系中，闭区域 $D$ 可用不等式表示：
于是体积 $V$ 为：
计算如下：
通过变换 $r=2a \cos \theta \sin \phi$，有 $dr=2a \cos \theta \cos \phi , d\phi$，积分简化为：
最后化简得到：
这些例题展示了如何利用极坐标变换简化积分计算过程，并得到准确的结果。
三、二重积分的换元法
二重积分的换元法是一种重要的积分技巧，通过适当的变量变换，可以将复杂的积分区域和被积函数转换为更易处理的形式。下面将通过一些例题展示如何应用换元法计算二重积分。
解：
确定变量变换：
计算雅可比式：变换的雅可比式为：
变换后的积分区域：在 $u,v$ 平面上，积分区域 $D'$ 的边界由 $u=0$、$v=2$、$u=v$ 及 $u=-v$ 围成。
应用换元公式：
- 计算积分：
总结
通过换元法，我们可以将复杂的积分区域和被积函数转换为更易处理的形式，利用雅可比式进行变量变换，从而简化计算过程。这一技巧在解决二重积分问题中非常实用。
解：
确定变量变换：令 $u=x+y$，$v=\frac{y}{x}$，则有 $x=\frac{u}{1 + v}$， $y=\frac{uv}{1 + v}$。
计算雅可比式：变换的雅可比式为：
变换后的积分区域：在 $u,v$ 平面上，积分区域 $D'$ 的边界由 $u=c$、$u=d$、$v=a$、$v=b$ 围成。
应用换元公式：
- 计算积分：
计算 $u$ 的积分：
接着计算 $v$ 的积分：
最终结果为：
总结
通过换元法，我们可以将复杂的积分区域和被积函数转换为更易处理的形式，利用雅可比式进行变量变换，从而简化计算过程。这一技巧在解决二重积分问题中非常实用。
图解
图 10-26(a) 和 图 10-26(b) 分别表示了积分区域 $D$ 和 $D'$ 的边界：
图 10-26(a)：在 $xOy$ 平面上的积分区域 $D$，由直线 $x+y=c$、$x+y=d$、$y=ax$ 和 $y=bx$ 围成。
图 10-26(b)：在 $uOv$ 平面上的积分区域 $D'$，由直线 $u=c$、$u=d$、$v=a$ 和 $v=b$ 围成。
解：
确定变量变换：令 $x=a r \cos \theta$，$y=b r \sin \theta$，则有 $0 \le r \le 1$，$0 \le \theta \le 2\pi$。
计算雅可比式：变换的雅可比式为：
变换后的积分区域：在极坐标系中，积分区域 $D'$ 的边界由 $0 \le r \le 1$，$0 \le \theta \le 2\pi$ 围成。
应用换元公式：
计算积分：
计算 $r$ 的积分：
设 $u=1-r^2$，则 $du=-2r , dr$，当 $r=0$ 时，$u=1$，当 $r=1$ 时，$u=0$。积分变为：
接着计算 $\theta$ 的积分：
最终结果为：
总结
通过换元法，我们可以将复杂的积分区域和被积函数转换为更易处理的形式，利用雅可比式进行变量变换，从而简化计算过程。这一技巧在解决二重积分问题中非常实用。
图解
图 10-26(a) 和 图 10-26(b) 分别表示了积分区域 $D$ 和 $D'$ 的边界：
图 10-26(a)：在 $xOy$ 平面上的积分区域 $D$，由椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1$ 围成。
图 10-26(b)：在 $r\theta$ 平面上的积分区域 $D'$，由 $0 \le r \le 1$，$0 \le \theta \le 2\pi$ 围成。