你见过不圆的井盖吗？
你见过不圆的井盖吗？
3月14日是联合国教科文组织确定的国际数学日，这一天也被称作"π Day"。让我们从一个常见的生活场景出发，探索井盖背后的数学奥秘。
漫步在燕园中，你总会发现各式各样的圆形图案。无意间低下头，你是否会注意到脚下那个路过了314次的它？
这些井盖，既是校园内地下系统的重要组成，又以其独特设计的纹饰，为燕园点缀了几分文化色彩。
日常生活中，我们看到的大多数的井盖都是圆形。那么大家可曾想过，为什么它们都是统一的形状？
圆的对称性
从小学认识圆的那时起，我们就知道：圆拥有无数条对称轴，拥有最好的对称性。此外，作为一个特别的中心对称图形，当圆绕着中心旋转了任意一个角度，它都与自身重合。
为什么井盖是圆的？
根据圆的旋转不变性，我们不难发现，当井盖因为外力发生旋转移位时，圆形的井盖仍然可以覆盖井口，防止井盖掉落与井口缝隙带来的安全隐患。相比之下，三角形与正方形的井盖就可能在旋转后无法覆盖井口，乃至一侧倾斜掉入井中。
除此之外，圆形结构还具有受力均匀不易破裂，便于标准化生产以及便于实地安装等优点，这些都使得圆形成了井盖形状中的主流。
当井盖变换形状
当我们回看圆形井盖不易掉落的特点，可以发现，圆形在滚动过程中可以被两条平行线始终“夹住”。对于一条具有这样性质的凸形封闭曲线，我们就把它称作“定宽曲线”。由于在滚动过程中始终被两条平行线夹紧，定宽曲线上所有点的“直径”，也就是过该点最长的弦，长度都相同。
我们不难发现，由于非定宽曲线存在一个点处的“直径”偏小，在这个点位于非定宽曲线的最大直径的一端时，非定宽曲线便会翻入洞中，而只有定宽曲线形状的井盖不能掉进它自身形状的洞里。
除圆以外，最简单的定宽曲线就是莱洛三角形。由于其定宽曲线的特性，莱洛三角形在旋转过程中可以将平行线所夹的空间始终划分成不连通的两部分，稍加改进后便可应用于德国科学家莱洛（1829-1905）所设计的发动机气缸。莱洛三角形也因他得名。当然，由莱洛三角形做成的井盖也和圆形井盖一样，具备不易掉落的特点。
也因为定宽曲线的性质，莱洛三角形可以被限制在一个正方形内运动。其周期性运动的中心使得莱洛三角形的钻头在正方形内活动空间更大，进而可以钻出近似正方形的孔洞。
当井道变换形状
换个角度，假如我们想要让“井盖”掉入形状更加奇特的“L”形“井道”，那“井盖”又应当是何种形状呢？
事实上，对于固定宽度为1的“L”形“井道”，去寻求可以通过转角的面积最大的“井盖”，便是数学家已经探索了近60年的“移动沙发问题”。在寻求这一问题解答的过程中，数学家们提出了鲁米克双灵活沙发、哈默斯利沙发以及热弗沙发等多种沙发形状。其构造的巧思令人叹为观止。
在2024年11月，Jineon Baek在arXiv上发布了论文Optimality of Gerver's Sofa（热弗沙发的最优性），声称热弗沙发就是可通过转角的面积最大的形状。倘若他的结果经其他数学家检验正确，这一数学难题便得到了完整解决。
数学技术建构世界，数学思想无处不在，就连一个圆圆的井盖背后也隐藏着如此丰富的数学知识。恰值第六个国际数学日，也是北大数学科学学院师生举办活动庆祝π Day的第15年，让我们从此刻出发，通过众多跟π有关的有趣游戏，感受世间万物的数学之美吧！
注：本文原文来自北京大学融媒体中心、北京大学数学科学学院