极坐标系和直角坐标系的关系

极坐标系和直角坐标系的关系

极坐标系和直角坐标系是描述平面上点位置的两种不同方式。极坐标系使用距离和角度来定位点，而直角坐标系则使用水平和垂直距离。这两种坐标系在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。本文将详细介绍极坐标系和直角坐标系的关系，包括它们之间的转换公式，并通过多个例题展示如何在两种坐标系之间进行转换。

设 Ox，Oy 为直角坐标系的两个坐标轴，设极坐标系中的极点合于直角坐标系的原点，极轴合于 x 轴。在这平面上有一点 P，对直角坐标系，它的坐标是 (x，y)，对极坐标系，它的坐标是 (ρ，θ)，如图7·13所示，

则 OM＝x，MP＝y；OP＝ρ，∠xOP＝θ 。

由此可得

(1) x = ρcosθ
(2) y = ρsinθ

即

(3) ρ = √(x² + y²) （ρ 的根号前取正号）

又

(4) θ = arctan(y/x)

注1：上面许多公式，都是从公式(1)推导出来的，所以主要须记住这一个公式。

注2：已知一点的极坐标，从公式(1)，可以写出它相应的直角坐标。反过来，如已知一点的直角坐标，可从公式(3)写出它的相应极坐标。

注3：从公式(1)，以 ρ，θ 代换直角坐标系方程 F(x，y)＝0 中的变数 x，y，就可以得到同一个曲线的相应极坐标方程 Φ(ρ，θ)＝0；反过来，从公式(3)，以 x，y 代换极坐标方程 Φ(ρ，θ)＝0 中的变数 ρ，θ，就可以得到同一个曲线的相应直角坐标系方程 F(x，y)＝0 。

例题解析

例1. 在极坐标系中有 P(8，π/12)，Q(－4，－230°) 两点，求它们的相应直角坐标。

【解】
设 P，Q 的直角坐标分别是 (x₁，y₁)，(x₂，y₂)，由公式(1)，得

x₁ = 8cos(π/12) ≈ 7.7
y₁ = 8sin(π/12) ≈ 2.1

所以 P 点的直角坐标是 (7.7，2.1) 。

同理，

x₂ = -4cos(-230°) ≈ 2.6
y₂ = -4sin(-230°) ≈ -3.1

所以 Q 点的直角坐标是 (2.6，－3.1) 。

例2. 在直角坐标系中有 P(7.7，2.1)，R(－4，3) 两点，求它们的相应极坐标。

【解】
从公式(2)，得 ρ²＝7.7²＋2.1²≈64，
∴ ρ≈8，
又 tgθ＝2.1／7.7≈0.27，
∴ θ＝15°（在第Ⅰ象限内）。

所以 P 点的极坐标是 (8，15°)，也就是 (8，π/12) 。

同理，对于 R：
今 tg(180°－θ)＝0.75，
∴ 180°－θ＝37°，
∴ θ＝143°（在第Ⅱ象限内）。

所以 R 点的极坐标是 (5，143°) 。

例3. 把下列直角坐标系方程变换为极坐标系方程：

(1) y－2x＝0，
(2) x²＋y²＝100，
(3) y＝a sinx 。

【解】
(1) y＝2x，即 y/x＝2，由公式(2)，得 tgθ＝2，∴ θ≈64°20'，即 θ≈1.1（弧度）。
(2) 即 ρ²＝100，∴ ρ＝10（取正号）。
(3) ∵ y＝ρ sinθ，x＝ρ cosθ，所以 ρ sinθ＝a sinθ(ρcosθ) 。

注：从上面的(3)题，可知正弦曲线的极坐标方程是非常繁复的，由这方程作图现在还无法解决。

例4. 把下列极坐标方程变换为直角坐标方程：

(1) ρ＝10sinθ，
(2) ρ²＝a²cos2θ，
(3) ρ＝aθ 。

【解】
(1)
因为 sinθ＝y／ρ，所以 ρ＝10·y/ρ，即 ρ²＝10y，
又 ρ²＝x²＋y²，所以 x²＋y²－10y＝0 。
这个方程的图象是圆，经过原点，中心在 (0，5)，半径是 5 。

(2)
因为 cos2θ＝cos²θ－sin²θ，
所以 ρ²＝a²(cos²θ－sin²θ)，
即
，
即 ρ⁴＝a²(x²－y²)，
即 (x²＋y²)²＝a²(x²－y²) 。

(3)
因为 ρ＝√(x²＋y²)，θ＝arctg(y/x)，
代入所给的方程，

注：一个曲线一般总是通过它的直角坐标方程作出它的图象的，但从本例的(2)，(3)两题，就它的直角坐标方程作图是困难的，如果通过极坐标方程作图反而容易了。

练习题

1. 下列各点的直角坐标是 (5，－12)，(－15，0)，(0，0)，(0，8)，(－5，－5√3)，求它们相应的极坐标。
2. 下列各点的极坐标是 (10，π/4)，(8，－7π/2），(0，0)，(－15，0)，(0，820°)，求它们相应的直角坐标。
3. 化下列各直角坐标方程为极坐标方程：
   (1) x＝a，
   (2) xcosω＋ysinω－p＝0，
   (3) x＋y＝0，
   (4) x²＝2p(y＋p/2)，
   (5) x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0 。答：(2)，(4)各见下题(2)，(4) 。
4. 化下列各极坐标方程为直角坐标方程：
   (1) 4θ－3π＝0，
   (2) ρcos(θ－ω)＝p，
   (3) ρ＝2r cosθ，
   (4) ρ＝p／(1－sinθ)，
   (5) ρ＝a cosθ＋b，
   (6) ρ＝a secθ＋b 。答：(3)见下节例1；(5)，(6)见下节例2，3 。
5. 用化极坐标方程为直角坐标方程的方法，说明下列三个方程的曲线的区别：
   ρ＝cos(θ＋1)，ρ＝cosθ＋1，ρcosθ＝1 。