三角函数诱导公式
三角函数诱导公式
三角函数是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。本文将详细介绍三角函数的诱导公式及相关定理，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
三角函数公式集合
1. 两角和差公式
两角和（差）公式包括两角和差的正弦公式、两角和差的余弦公式、两角和差的正切公式。两角和与差的公式是三角函数恒等变形的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的。
(1) 正弦两角和差：
$$
sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ \
sin(α-β) = sinαcosβ-cosαsinβ \
$$
(2) 余弦两角和差：
$$
cos(α+β) = cosαcosβ-sinαsinβ \
cos(α-β) = cosαcosβ+sinαsinβ \
$$
(3) 正切两角和差：
$$
tan(α+β) = \frac{(tanα+tanβ)}{(1-tanαtanβ)} \
tan(α-β) = \frac{(tanα-tanβ)}{(1+tanαtanβ)} \
$$
2. 倍角公式
倍角公式，是三角函数中非常实用的一类公式。就是把二倍角的三角函数用本角的三角函数表示出来。在计算中可以用来化简计算式、减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛的运用。
(1) 正弦倍角：
$$
sin2α = 2sinαcosα \
$$
(2) 余弦倍角：
$$
cos2α = cos^{2}α-sin^{2}α \
= 2cos^{2}α-1 \
= 1-2sin^{2}α \
$$
(3) 正切倍角：
$$
tan2α = \frac{2tanα}{1-tan^{2}α} \
$$
3. 半角公式
半角公式（Half angle formula）是利用某个角（如∠A）的正弦值、余弦值、正切值，及其他三角函数值，来求其半角的正弦值，余弦值，正切值，及其他三角函数值的公式。
(1) 正弦半角：
$$
sin(\frac{α}{2}) = \sqrt{\frac{1-cosα}{2}} \
$$
(2) 余弦半角：
$$
cos(\frac{α}{2}) = \sqrt{\frac{1+cosα}{2}} \
$$
(3) 正切半角：
$$
tan(\frac{α}{2}) = \sqrt{\frac{1-cosα}{1+cosα}} \
$$
4. 诱导公式
诱导公式是指三角函数中，利用周期性将角度比较大的三角函数，转换为角度比较小的三角函数的公式，诱导公式有六组，共54个。
(1) 符号规律：
$$
sin(-α) = -sin(α) \
cos(-α) = cos(α) \
tan(-α) = -tanα \
$$
(2)π 2 − α 规律：
$$
sin(\frac{\pi}{2}-α) = cos(α) \
cos(\frac{\pi}{2}-α) = sin(α) \
tan(\frac{\pi}{2}-α) = cot(α) \
$$
(3)π 2 + α 规律：
$$
sin(\frac{\pi}{2}+α) = cos(α) \
cos(\frac{\pi}{2}+α) = -sin(α) \
tan(\frac{\pi}{2}+α) = -cot(α) \
$$
(5)π + α 规律：
$$
sin(\pi+α) = -sin(α) \
cos(\pi+α) = -cos(α) \
tan(\pi+α) = tan(α) \
$$
(6)π − α 规律：
$$
sin(\pi-α) = sin(α) \
cos(\pi-α) = -cos(α) \
tan(\pi-α) = -tan(α) \
$$
(7)2 k π + α 规律：
$$
sin(2k\pi+α) = sin(α) \
cos(2k\pi+α) = cos(α) \
tan(2k\pi+α) = tan(α) \
$$
注意 k 不能为 0，所以上方的π + α 不符合此规律。
正弦定理
正弦定理（The Law of Sines）是三角学中的一个基本定理，它指出在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。
$$
\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R
$$
本文原文来自CSDN博客