《投资中的数学》系列——标准差

《投资中的数学》系列——标准差

在投资的世界里，市场的波动和风险常常让人捉摸不定。很多投资者依靠直觉、经验或者市场情绪做决策，然而，这种方式往往充满不确定性。事实上，投资不仅仅是对未来的猜测，它背后蕴藏着丰富的数学原理和统计规律。

1.从赌场到华尔街：标准差的起源

1713年，数学家亚伯拉罕·棣莫弗发现了一个神奇规律：当重复抛硬币足够多次时，正面朝上的次数分布呈现出一种稳定的钟形曲线。这就是正态分布的雏形，而标准差正是描述这条曲线宽窄的关键指标。

2.什么是标准差？

标准差，又称标准偏差、均方差（英语缩写SD，符号σ），在概率统计中最常使用作为测量一组数值的离散程度之用。可反映组内个体间的离散程度，用于衡量数据偏离平均值的程度。其公式如下：

在投资领域，股价波动、基金收益、经济指标……许多金融数据都近似服从正态分布，标准差就是衡量这些波动幅度的“尺子”。标准差越大，收益波动范围越宽，投资风险越高。相反，标准差越小，收益波动范围较为窄，风险亦较小。

3.投资中的概率密码

在投资中，一组大量随机数据一般具有近似于正态分布的概率分布。则约68%数值会分布在距离平均值有1个标准差之内的范围，约95%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围，以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。这称为“68%-95%-99.7%法则”。因此，在投资中可通过±1σ、±2σ区间，可以量化“最可能”和“极端”情景，评估估值高低概率及波动风险。

注：深蓝区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围，在正态分布中，此范围所占比率为全部数值之68%；两个标准差之内（深蓝，蓝）的比率合起来为95%；三个标准差之内（深蓝，蓝，浅蓝）的比率合起来为99.7%。

3.标准差在投资中的应用

在投资决策中，我们常常用“标准差”量化投资风险，例如：

富国天惠vs招商中证白酒（近3年数据）

白酒基金看似收益更高，但±1σ区间已包含亏损可能（-13.3%）
富国天惠±2σ区间上限（63%）仍低于白酒基金±1σ上限（64.5%），说明后者风险显著更高；
另外，我们在投资决策中，可利用基于标准差的正态分布概率特点，构建基于合理估值的±2σ构建通道，识别估值的高低。我们以实际案例为例：

这个是基于$贵州茅台(SH600519)$历史合理估值与股价叠加套合图（来源：【贵州茅台】估值与预期收益率评估202501）。从图中我们可以看到当前贵州茅台股价，在低于合理估值的1σ附近；曾经在2021年高于合理估值2σ，严重高估。

我们在看一下$老凤祥B(SH900905)$历史合理估值与股价叠加套合图（来源：【老凤祥B】估值与预期收益率评估）：

因此，我们可以构建基于合理估值的±2σ构建通道，来评估当前股价的估值高低，一般来说：

合理估值+2σ：严重高估，全减仓或小部分仓位（98%概率会下跌）；
合理估值+1σ：一般高估，考虑逐步减仓（84%概率会下跌）；
合理估值-1σ：一般低估，考虑逐步进仓（84%概率会上涨）；
合理估值-2σ：严重低估，满仓进入（98%概率会上跌）；

4.标准差在作用与意义总结

标准差，作为衡量数据波动性的核心指标，能够帮助投资者在纷繁复杂的市场中量化风险、识别机会。其在投资中的作用与意义如下：

（1）量化风险，明确投资边界

在金融市场中，资产价格的波动往往难以预测。标准差通过量化波动幅度，为投资者划定了清晰的概率边界。例如，当某基金的收益率标准差为20%时，意味着有68%的概率其年度收益在±20%范围内波动。这种量化的风险指标，帮助投资者更好地理解“最可能”和“极端”情景，从而制定合理的投资计划。

（2）比较资产，识别性价比

投资者通常需要在多个资产或策略中进行选择。通过比较不同资产的标准差，可以直观地评估其风险水平。例如，两只基金的年化收益均为15%，但A基金的标准差为10%，B基金为25%。显然，A基金在相同收益下承担的风险更低，性价比更高。标准差为投资者提供了一个客观的比较工具，避免被高收益表象所迷惑。

（3）优化组合，平衡风险收益

在资产配置中，标准差是构建有效投资组合的关键指标。通过分析不同资产的标准差及其相关性，投资者可以优化组合的风险收益比。例如，在股票和债券的组合中，债券的低标准差可以平滑整体波动，而股票的高标准差则提供增长潜力。标准差为投资者提供了科学配置资产的依据。

（4）理解市场，把握概率优势

金融市场本质上是一个概率游戏。标准差与正态分布的结合，揭示了市场波动的统计规律。例如，根据“68%-95%-99.7%法则”，投资者可以预判资产价格在特定范围内的概率分布，从而制定更具优势的交易策略。标准差帮助投资者从概率视角理解市场，减少情绪化决策。

标准差不仅是衡量波动的工具，更是理解市场规律的钥匙。通过掌握标准差，投资者可以量化风险、优化决策，在不确定的市场中寻找确定性。正如投资大师霍华德·马克斯所言：“风险控制不是避免风险，而是理解风险并为之定价。”而标准差，正是我们为风险定价的核心工具之一。