函数间断点的概念与分类

函数间断点的概念与分类

当函数在其定义域内某点不连续时，称该点为间断点。根据极限存在性特征，间断点通常分为以下两类四型：

一类间断点

一类间断点指左右极限都存在但不满足连续条件的点，包括可去间断点和跳跃间断点。

可去间断点

判定条件：

• 函数在某点处无定义，但左右极限存在且相等。

修复方法：

• 通过重新定义函数在该点的值，使其等于极限值，从而消除间断。

典型示例：

在处：
因此是可去间断点。

跳跃间断点

判定条件：

• 函数在某点处左右极限存在但不相等。

不可修复性：

• 跳跃量无法通过重新定义消除。

分段函数示例：

在处：
两侧极限不相等，故为跳跃间断点。

二类间断点

二类间断点指至少有一侧极限不存在，或极限虽“存在”但趋于无穷的点，包括无穷间断点和震荡间断点。

无穷间断点

判定特征：

• 函数在某点处至少一侧极限趋于无穷大。

此时函数图像在附近表现出竖直渐近线。

典型示例：

在处：

震荡间断点

判定特征：

• 在某点极限无穷次震荡于有限区间内，既不收敛到有限值，也不趋于无穷大。

示例分析：

当时，无界增大，使得在区间内无限振荡，左右极限都不存在，故处是震荡间断点。

关键位置与判断方法

在判断函数的间断点时，通常需要重点排查以下几类值，这些位置往往是间断点的潜在发生处。

定义域边界点

例如的定义域是，在处函数仅有右侧定义，需要检查。若函数还有其它更小的区间，则需视具体情况判断单侧极限。

分段函数的连接点

若函数以分段形式给出
则必须检查处：
、以及函数值三者之间的关系。

分母零点（有理函数）

若，需要先解方程。对于满足的点，还要查看是否也为 0。

• 若，通常是无穷间断点
• 若，需先约分再判断。例如
  在处约分后变为（），可知该点为可去间断点。

特殊函数结构点

函数类型 需检查的值 典型间断类型
对数函数 中 二类间断点
正切函数 中 无穷间断点
绝对值函数 在 通常连续（可导性变化）

极限震荡点

函数含、之类的“高频”震荡结构，往往在某些点（常见于）出现无限震荡，需要重点排查。

复合函数的连接点

若外层函数对输入有额外限制，则需确定内层表达式满足该限制的范围。例如
，要保证（即），并在处检验单侧极限及函数值。

综合判断步骤

当确定了需要检查的候选点后，可以按照如下流程进行分析：

graph TD
 A[计算左极限] --> B[计算右极限]
 B --> C{极限存在?}
 C -->|是| D[一类间断分析]
 C -->|否| E[二类间断分析]

更详细的类型判别可以参考下述示意图：

graph TD
 A[待检查点 x_0] --> B{f x_0 是否已定义？}
 B -->|未定义| C[计算左右极限]
 B -->|已定义| C1[计算左右极限]
 C --> D{左右极限是否都存在？}
 C1 --> D{左右极限是否都存在？}
 D -->|否| E{可能是二类间断}
 E -->|若极限趋∞| F[无穷间断点]
 E -->|若极限震荡| G[震荡间断点]
 D -->|是| H{左右极限相等？}
 H -->|否| I[跳跃间断点]
 H -->|是| J{左右极限 = f x_0 ？}
 J -->|f x_0 未定义或不同| K[可去间断点]
 J -->|等于| L[连续点]

示例1：
分析
在处的间断情况：

• 由于无定义，首先判定为间断点。
• 计算单侧极限：
  左右极限不相等，属于跳跃间断点。

示例2：
判断
在处：

• 原函数未在明确定义，首先判定为间断。
• 然而通过夹逼定理：
  ，
  可得
  。
• 将补充定义为 0 后，可使其在处连续。故原点为可去间断点。

特殊情形处理

分段函数连接点

要分别计算左极限和右极限，再与连接点的函数值进行比较。若三者相等则连续，否则为间断点。

示例：
在处：
、、，
三者相等，故连续。

导数存在性与间断

若在可导，则必定在连续。
但函数在某点不可导时，不一定间断，例如在处不可导，但函数仍连续。