一文读懂反向传播算法原理

一文读懂反向传播算法原理

反向传播算法是神经网络训练中的核心算法之一，它通过链式法则高效地计算损失函数关于网络参数的梯度，从而实现参数优化。本文将详细讲解反向传播算法的原理，包括前向传播过程、损失函数的定义、误差项的计算以及最终的梯度计算。

1. 前言

本文主要讲解反向传播算法的原理，基于吴恩达老师的机器学习课程内容，重点介绍了神经网络中反向传播算法的公式推导。课程中的神经网络部分主要讲述的是神经网络在分类的应用，因此激活函数采用的是sigmoid函数。

2. 前向传播

要理解反向传播，首先需要理解前向传播。以下以一个三层神经网络为例：

前向传播的过程可以分为以下几个步骤：

1. 输入层输入训练集：输入层对应图中的Layer1。训练集包含多个样本，每个样本又有多个特征。将样本特征输入到神经网络中，形成输入层的激活值a(0)。为了计算方便，需要加上偏置单元a0(1)=1。

2. 隐藏层计算z(2)：通过权重矩阵计算出z(2)，具体计算方法如下：

3. 通过激活函数计算出a(2)：通过上一步计算的z(2)，经过sigmoid激活函数，计算出a(2)。

4. 计算输出层的a(3)：原理和计算隐藏层类似，通过权重矩阵和激活函数计算输出层的激活值。

3. 反向传播

反向传播算法的提出是为了高效计算损失函数关于网络参数的梯度。其核心思想是利用链式法则，从输出层反向逐层计算误差项δ，最终得到参数的梯度。

1. 定义损失函数：首先定义神经网络的损失函数，通常使用交叉熵损失函数：

2. 定义误差δ：误差δ的定义如下：

3. 第L层δ（输出层）的具体推导：输出层的误差推导如下：

4. 第l层误差δ的具体推导：推广到任意层的误差推导：

5. 计算得出θ的偏导数：最终计算参数的偏导数：

通过上述推导，可以完整理解反向传播算法的原理和计算过程。