【中考压轴题专项训练】二次函数含参问题解析

【中考压轴题专项训练】二次函数含参问题解析

二次函数含参问题是中考数学中的重点和难点，也是压轴题中常见的题型。本文精选了多道典型例题，从基础概念到解题技巧，全面解析二次函数含参问题的解题思路和方法，帮助学生掌握这一类题目的解题技巧，提高解题能力。

一、基础知识回顾

二次函数的一般形式为 $y=ax^2+bx+c$（其中$a\neq0$），当函数表达式中含有参数时，这类问题就称为二次函数含参问题。解决这类问题的关键在于理解参数对函数图像和性质的影响。

二、典型例题解析

例1：参数对函数图像的影响

题目：已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像如图所示，其中 $a$、$b$、$c$ 是常数，且 $a\neq0$。根据图像判断 $a$、$b$、$c$ 的符号。

解析：

1. 由于抛物线开口向上，因此 $a>0$。
2. 抛物线的对称轴在 $y$ 轴左侧，说明 $-\frac{b}{2a}<0$，结合 $a>0$，可得 $b>0$。
3. 抛物线与 $y$ 轴的交点在 $y$ 轴正半轴，说明 $c>0$。

答案：$a>0$，$b>0$，$c>0$。

例2：参数对函数性质的影响

题目：已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像经过点 $(1,0)$ 和 $(3,0)$，且其顶点在 $x$ 轴上方。求参数 $a$ 的取值范围。

解析：

1. 由于函数图像经过点 $(1,0)$ 和 $(3,0)$，说明这两个点是函数的零点，因此可以设函数为 $y=a(x-1)(x-3)$。
2. 顶点在 $x$ 轴上方，说明函数的最大值大于 $0$。函数的顶点坐标为 $\left(\frac{1+3}{2}, a\left(\frac{1+3}{2}-1\right)\left(\frac{1+3}{2}-3\right)\right)$，即 $(2, -2a)$。
3. 由于顶点在 $x$ 轴上方，因此 $-2a>0$，解得 $a<0$。

答案：$a<0$。

例3：参数与函数最值的关系

题目：已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的最大值为 $4$，且其图像经过点 $(0,3)$。求参数 $a$ 的值。

解析：

1. 由于函数的最大值为 $4$，说明顶点的 $y$ 坐标为 $4$。设顶点坐标为 $(h, 4)$，则函数可以表示为 $y=a(x-h)^2+4$。
2. 函数图像经过点 $(0,3)$，代入函数表达式得 $3=a(0-h)^2+4$，即 $3=ah^2+4$。
3. 由于函数的最大值为 $4$，说明 $a<0$。结合 $3=ah^2+4$，解得 $a=-1$。

答案：$a=-1$。

三、总结与提升

通过以上例题的解析，我们可以看出，解决二次函数含参问题的关键在于理解参数对函数图像和性质的影响。具体来说，需要掌握以下几个方面：

1. 参数对函数图像开口方向的影响
2. 参数对函数图像对称轴位置的影响
3. 参数对函数图像与坐标轴交点位置的影响
4. 参数对函数最值的影响

在解题过程中，要善于利用函数图像的几何特征，结合代数方法，灵活运用各种解题技巧，提高解题效率和准确性。