什么是无穷大？

什么是无穷大？

什么是无穷大？

无穷大……
……它不是大……
……它不是很大……
……它不是极大……
……它不是硕大无比……
……它是……

无穷无尽的！

无穷大没有尽头

无穷大是个"无尽"的概念。在真实世界里没有东西是无尽的。我们可以想象一路前进，但永远不能到达终点。但这其实不是无穷大。所以不要这样想象无穷大。想："无穷" 或 "无尽". 没有尽头、边缘、终点――那就是无穷大。

无穷大不会增长

无穷大不是 "越来越大"，它已经是完全的。有些人（包括我在内）说无穷大"无限延续"，就好像它在增长一样，但其实无穷大不在做什么，它就是。

无穷大不是一个数

无穷大不是一个数，它是个概念――无穷无尽。我们不能测量无穷大。在宇宙边缘的星系的距离也不是无穷大的。

无穷大很简单

真的！无穷大其实比有尽的东西要简单，因为有尽就代表我们要处理终点或边缘。例子：在几何学里一条"直线"的长度是无穷大的……直线向两个方向无限伸延。有一个尽头（端点）的直线叫半直线（或射线），有两个尽头的直线叫线段。这两种线条都需要额外信息来定义端点的位置。

更多例子：

• {1, 2, 3, ……} 自然数序列没有终点，所以它是无穷的。
• 1/3是有穷数（不是无穷大的）。但用小数来表示，3的数位无穷重复（叫"0.3循环"）：0.3333333……3数位没有尽头，它们无限循环。
• 像 "0.999……" 这样的数（小数点后有无限多的 9），9 的数位是无穷的。你不能说："如果最后一个小数位是 8 呢？"，因为它是无尽的。（这里是为什么0.999……等于 1）。
• AAAA…… 无穷的 "A"，后面有个 "B" 永远不会有个 "B"出现。
• 直线上有无穷多的点。短短的线段上也有无穷多的点。

大数

有些数非常大。古戈尔是 1 后面加一百个零（10100，就是一万亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿）：

10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,
000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,
000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

古戈尔已经比已知宇宙里基本粒子的数量要大，但还有更大的数，叫古戈尔普勒克斯。它是 1 后面加一古戈尔个零。我不能写下这个数，因为宇宙里没有足够的物质来写那么多的零：

10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000, ……（古戈尔个零）

还有更大的数，它们需要用"幂塔"来写下来。例如，一古戈尔普勒克斯可以用幂塔写为：

这就是十的（十的一百次方）次方，但我们还可以想象更大的数，像

（叫古戈尔普勒克斯安）。当然，再大的数也是可以的！

有穷

这些数都是 "有穷"的，我们始终会"到达它们的尽头"。但是，这些数离开无穷大还有很远（无穷的远！），因为它们都是有穷的，而无穷大是……无穷的！

使用无穷大

有时我们可以把无穷大当作普通的数使用，但无穷大和普通的数不是一样的。当你遇到无穷大符号"∞"时，想："无穷无尽"：

例如：∞+ 1 =∞

无穷大加一还是无穷大。如果是无穷无尽的，加什么上去也还是无穷无尽的。最重要的是：

-∞<x<∞其中x是个实数

用数学语言来说：

"负无穷大小于任何实数，
（正）无穷大大于任何实数"

以下是更多属性：

无穷大的特别属性
∞+∞=∞
-∞+ -∞= -∞

∞×∞=∞
-∞× -∞=∞
-∞×∞= -∞

x+∞=∞
x+ (-∞) = -∞
x-∞= -∞
x- (-∞) =∞

如果x>0 :
x×∞=∞
x×(-∞) =-∞
如果x<0 :
x×∞=-∞
x×(-∞) =∞

未定义运算

以下的运算都是"未定义的"："未定义"运算
0 ×∞
0 × -∞
∞+ -∞
∞-∞
∞/∞
∞0
1∞

例子：∞/∞是不是等于 1？

不是，因为我们不知道无穷大有多大，所以我们不能说两个无穷大是一样的。例如，∞+∞=∞，所以

∞∞=∞ + ∞∞ 意思是： 11=21

荒谬！同样，我也可以做到 1=3 等等…… 所以我们说∞/∞是未定义的。

无穷集

如果你继续学习这个课题，你会学到无穷集和不同大小的无穷大的概念。这个课题有独特的词汇，例如阿列夫零（有几个自然数）、阿列夫一等等。数学家用这些数来量度集的大小。例如，有无穷多的非负整数{0,1,2,3,4,……}，但有更多的实数（例如 12.308 或 1.1111115），因为在小数点后还有无穷多的可能。这是个比上面讲的简单无穷大要高级的概念。

结论

无穷大是个简单的概念："无穷无尽"。我们所知的东西大部分都是有尽的，但无穷大则是无尽的。