微积分概述
微积分概述
微积分是现代数学的重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等多个领域。本文将从导数的定义出发，系统地介绍微积分的基本概念，包括导函数运算、极值附近导数的性质、泰勒展式以及多元函数的偏导数等内容。通过本文的学习，读者将能够更好地理解微积分的核心概念及其应用。
一、导数的定义
导数是微积分中的一个基本概念，用于衡量一个函数在某一点处的变化率。对于一个给定的函数 ( f(x) )，其在点 ( x ) 的导数可以定义为该函数在 ( x ) 点的瞬时变化率，也就是曲线在该点的切线斜率。
如图对 ( x_0 ) 求导可写成如下表达式：
[
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=x_0}
]
或
[
\left.y^{\prime}\right|_{x=x_0}
]
或
[
f^{\prime}(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}
]
二、导函数运算
当 ( x_0 ) 发生变化时，函数 ( y=f(x) ) 在 ( x_0 ) 点的导数也会发生相应的变化。因此，函数 ( y=f(x) ) 的导数本身也是 ( x ) 的函数，我们称为函数 ( y=f(x) ) 的导函数，记作：
[
\frac{dy}{dx} \quad \text{或} \quad y^{\prime} \quad \text{或} \quad f^{\prime}(x)
]
函数的导数是函数的一个重要性质，它表示的是函数在 ( x_0 ) 的瞬间变化率，从其几何意义上来说，它表示的是函数的曲线在 ( x_0 ) 的切线的斜率。
根据导数的定义，我们很容易得到以下的结论：
- 函数 ( y=C )（其中 ( C ) 是常数）的导函数是 ( y=0 )。
- 函数 ( y=Cx )（其中 ( C ) 是常数）的导函数是 ( y=C )。
- 函数 ( y=Cx^2 )（其中 ( C ) 是常数）的导函数是 ( y=2Cx )。
- ( (sinx)^{\prime} =cosx )
- ( (cosx)^{\prime} =−sinx )
- ( (e^x)^{\prime} =e^x )
导数四则运算法则
- ([u(x)± v(x)]'= u'(x)± v(x))
- ([u(x)v(x)]'= u'(x)v(x)+u(x)v'(x))
- (\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]' =\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2},v(x) \neq0)
- 复合函数求导法则 ({f[g(x)]}'=f^{'}(u)g^{'}(x),其中u=g(x))
复合函数求导举例：
假设我们有两个函数：
[
g(x)=2x+3
]
[
f(u)=u^2, \text{其中} u \text{是} g(x) \text{的结果，即} u=g(x)
]
我们需要求复合函数 ( f(g(x)) ) 的导数。首先，我们计算 ( f(g(x)) )：
[
f(g(x)) = f(2x+3) = (2x+3)^2
]
现在我们使用复合函数求导法则求导：
[
{f[g(x)]}'=f(u)^{'}g'(x)
]
即
[
{f[g(x)]}'=f^{'}(g(x))g'(x)
]
首先求 ( g(x) ) 的导数 ( g'(x) )：
[
g'(x)=\frac{d}{dx}(2x+3)=2
]
接着求 ( f(u) ) 在 ( u=g(x) ) 处的导数 ( f^{'}(g(x)) )。由于 ( f(u)=u^2 )，我们有：
[
f^{'}(u) = \frac{d}{du}(u^2)=2u
]
将 ( u ) 替换为 ( g(x) )，得到 ( {f[g(x)]}' )：
[
{f[g(x)]}' = 2(2x+3)
]
现在，我们可以将 ( f^{'}(g(x)) ) 和 ( g'(x) ) 相乘得到 ( {f[g(x)]}' )：
[
{f[g(x)]}'=f^{'}(g(x))*g'(x) =2(2x+3) * 2
]
简化得到
[
{f[g(x)]}' = 4（2x+3）= 8x+12
]
三、极值附近导数的性质
设函数 ( f(x) ) 在 ( x_0 ) 的某邻域 ( U(x_0) ) 内有定义，在 ( x_0 ) 处取得极值，且 ( f(x_0)^{'} ) 存在，则 ( f(x_0)^{'}= 0 )。此处也称之为费马定理。
函数 ( f(x) ) 在 ( A,B,C ) 出取得极值，此时 ( f^{'}(x_A)= f^{'}(x_B)= f^{'}(x_C)= 0 )。
性质归纳：
- 当导数大于0时，曲线上升；
- 导数小于0时，曲线下降；
- 导数为0时，函数在该点取得局部最大或最小值，并且在该点附近，导数的值变得非常小。
以上结论在学习梯度下降算法时有极重要的作用。
四、泰勒展式
[
f(x) = f(x_0) + \frac{f^{\prime}(x_0)}{1!}(x-x_0) +\frac{f^{''} (x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{n} (x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n
]
其中：
( f (n)(x_0) ) 表示函数 ( f(x) ) 在 ( x_0 ) 点的第 n 阶导数。
n! 表示 n 的阶乘，即 n!=n×(n−1)×⋯×1。
泰勒展式是用一个函数在某点的信息，描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以利用这些导数值来做系数，构建一个多
项式近似函数，求得在这一点的邻域中的值。
泰勒展式的用途：用一个多项式函数去逼近一个给定的函数(即尽量使多项式函数图像拟合给定的函数图像)，注意，逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开。如果一个非常复
杂的函数，想求其某点的值，直接求无法实现，这时候可以使用泰勒展式去近似的求该值。
泰勒展式的一个重要应用是在物理学和工程学中，它可以用来近似计算复杂函数的值，尤其是在数值分析和计算科学中非常有用。此外，泰勒展式也是研究函数局部行为的重要工具，比如通过泰勒展式可以分析函数在某点的凹凸性、极值等性质。
五、多元函数的偏导数（以二元函数为例）
对于二元函数 ( z=f(x,y) ) 来说，它有2个自变量： ( x,y )。我们可以求这个函数在 ( （x_0,y_0） ) 点的导数，该导数可以对变量 x 来求，也可以对变量 y 来求。
对变量 ( x ) 来求导数就是
[
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 +\Delta x,y_0 ) -f(x_0,y_0)}{\Delta x}
]
它称为函数 ( z=f(x,y) ) 在 ( （x_0,y_0） ) 点对于 ( x ) 的偏导数，记作
[
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{x=x_0,y=y_0}
]
或
[
z_x|_{x=x_0,y=y_0}
]
或
[
f_x(x_0,y_0)
]
对于变量 ( y ) 来求导数就是
[
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 ,y_0+\Delta y ) - f(x_0,y_0)}{\Delta y}
]
它称为函数 ( z=f(x,y) ) 在 ( （x_0,y_0） ) 点对于 ( y ) 的偏导数，记作
[
\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{x=x_0,y=y_0}
]
或
[
z_y|_{x=x_0,y=y_0}
]
或
[
f_y(x_0,y_0)
]
偏导函数
与导数类似，函数 ( z=f(x,y) ) 对于变量 x 的偏导数也是 ( x,y ) 的函数，称为函数 ( z=f(x,y) ) 对于变量 x 的偏导函数，记作
[
\frac{\partial z}{\partial x} \quad 或 \quad z_x \quad 或 \quad f_x(x,y)
]
同样 函数 ( z=f(x,y) ) 对于变量 x 的偏导数也是 ( x,y ) 的函数，称为函数 ( z=f(x,y) ) 对于变量 y 的偏导函数，记作
[
\frac{\partial z}{\partial y} \quad 或 \quad z_y \quad 或 \quad f_y(x,y)
]
梯度
多元函数的梯度是一个向量，包含了函数对所有变量的偏导数。对于函数 ( f(x,y) )，梯度 ( \nabla f ) 定义为：
[
\nabla f=(\frac{\partial f }{\partial x},\frac{\partial f }{\partial y})
]
偏导数的意义
函数 ( z=f(x,y) ) 在 ( (xo,yo) ) 点对于变量 x 的偏导数是变量 ( y ) 不变情况下变量 ( x ) 在(xo,yo)点的瞬间变化率；函数 ( z=f(x,y) ) 在 ( (x_0,y_0) ) 点对于变量 y 的偏导数是变量 x 不变情况下变量 ( y ) 在 ( (x_0,y_0) ) 点的瞬间变化率。
多元函数的偏导数同样是理解梯度下降算法的重要基础
二元函数的求导举例
假设我们有一个二元函数 ( f=(x,y)=x^2y )，我们要求它在 ( (x_0,y_0) ) 的偏导数和梯度。
- 关于 ( x ) 的偏导数：
此时将 ( y ) 当作常数
[
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(x^2y) = 2xy
]
- 关于 ( y ) 的偏导数：
此时将 ( x ) 当作常数
[
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(x^2y) = x^2
]
- 梯度向量：
[
\nabla f=(\frac{\partial f }{\partial x},\frac{\partial f }{\partial y})= (2xy,x^2)
]