老友记搬沙发难题终结，60年数学谜题破解！119页论文惊人证明：有最优解
老友记搬沙发难题终结，60年数学谜题破解！119页论文惊人证明：有最优解
在数学领域，有一个被称为“移动沙发问题”的经典难题，困扰了数学家们长达60年之久。这个问题源自一个看似简单的生活场景：如何将一个二维形状的沙发通过宽度为1单位的L形走廊？最近，这个困扰了数学界半个多世纪的难题终于有了答案。
《老友记》中Ross和Rachel试图搬沙发的情景，形象地展示了这个数学难题
问题的起源与发展
1966年，加拿大数学家Leo Moser首次将“移动沙发问题”以定量形式提出：假设要移动一个二维形状（忽略沙发高度）通过宽度为1单位的L形走廊，那么这个不会被卡住的最大形状的面积是多少？
起初，人们很容易想到一些能通过转角的简单形状。比如边长为1的正方形，能顺利通过转角，面积为1。然而，一旦正方形伸长成矩形，就会立刻失效，撞上走廊。数学家们想到：既然如此，就可以通过引入完全的形状，来扩大面积！
比如一个半径为1的半圆，面积约为1.57（π/2），当它撞到拐弯处时，圆形的边缘就留下了足够的空间，来通过角落。但是，这些形状的面积仍然不够大！显然不是数学家们追求的最优解。一定还有面积更大、更巧妙的形状。
问题关键就在于，既要优化形状大小，还要优化穿越路径。也就是说，有两种类型的运动：滑动和旋转。而解决问题的关键，就在于同时优化两种类型的运动。
1968年，英国数学家John Hammersley发现：可以抠出一大块，来应对那个讨厌的角落，同时延伸半圆形，让我们的沙发面积更大（面积为 π/2 + 2/π, 大约2.2074）。这种形状像座机电话的沙发，就混合了滑动和旋转运动的优势。
自从这个半圆形变为电话形的重大升级后，这个问题一停滞就是24年！
1992年，罗格斯大学的Joseph Gerver提出了一种巧妙的形状，面积约为2.2195，它似乎是目前已知最大的沙发。看起来， Gerver的沙发看起来与Hammersley的沙发大差不差。不过仔细看的话，会发现一些细微的差异：在这个新图里，Gerver缝合了18个不同的形状，在圆形切口底部的斜角边缘，跟Hammersley的沙发有一些差别。
Gerver的沙发形状
最终的突破
2025年，一位年轻的博士后研究员——首尔延世大学的Jineon Baek在一篇长达119页的论文中证明，Gerver设计的沙发就是能够顺利通过拐角的最大形状！
论文地址：https://arxiv.org/pdf/2411.19826
60年难题得解，数学界轰动了。此前，数学家们普遍认为，要证明这个猜想可能需要计算机，而Baek的证明完全没有使用计算机。更有趣的是，Gerver的沙发与常见的几何形状不同，它的面积无法用已知的数学量（如π或平方根）来表示。然而，在“移动沙发问题”这个看似简单的问题中，它却是最优解。
Baek的证明过程
在探索这个问题的征程中，韩国延世大学的博士后Jineon Baek脱颖而出。2016年，刚进入密歇根大学攻读研究生的Baek因服兵役中断学业。在服役期间，他在一篇博客文章中看到了“移动沙发问题”。起初，他只是把它当作工作之余放松的方式，但很快就认真起来。
他有一个初步想法，能证明Gerver的沙发是正确答案，但还有许多细节需要完善。2021年回到学校后，他决心攻克这个难题。通常情况下，数学博士生会选择导师，然后由导师分配研究问题。但Baek一心想研究“移动沙发问题”，这使得他在寻找导师时遇到了困难，因为密歇根大学的教授们觉得自己在这个领域缺乏足够的专业知识。幸运的是，代数领域的专家Michael Zieve同意指导他。Zieve表示：“我从未指导过与我研究领域相差这么远的学生，但我愿意尝试。”
这种跨领域的指导，为Baek的研究带来了新的视角和可能。在攻读博士期间，Baek在Kallus和Romik的工作基础上继续深入研究。他开发了强大的计算工具，进一步缩小了面积上限，取得了重要的阶段性成果。
原本，Baek打算毕业后继续采用计算方法来彻底解决“移动沙发问题”。但几个月后，他意识到或许可以不依赖计算机来完成证明。数学家们早已知道，任何满足“移动沙发问题”的解都需要具备特定条件。比如，最优沙发要能够以特定方式旋转，底部需要有为走廊转角留出空间的部分等等。
满足这些条件的形状有无穷多个，Baek首先做的是缩小范围，通过一系列复杂的数学推理证明，最优形状至少与Gerver的沙发相似。他将每个沙发表示为无限维空间中的一个点。理想情况下，他希望找到一个函数，输入点就能输出沙发面积，进而找到函数输出最大时对应的点。但由于不存在能计算所有形状面积的通用公式，他决定间接研究形状面积。Baek发明了一个新函数Q，并定义了它的几个重要属性。
首先，对于他所定义空间中的任何沙发，Q的输出至少和沙发面积一样大，它本质上测量的是包含沙发的一个形状的面积。这意味着如果能找到Q的最大值，就能得到最优沙发面积的一个上限。更关键的是，对于Gerver的沙发，函数Q的输出恰好等于其面积。所以，Baek只需证明当输入为Gerver的沙发时，Q能取到最大值，就能证明Gerver的沙发是“移动沙发问题”的最优解。
Baek精心构建的Q函数表现很好，类似于简单的抛物线，相对容易找到最大值。他证明了使Q最大化得到的形状满足一组特定条件，而定义Gerver沙发的方程也满足这些条件。就这样，他解决了这个困扰数学家们数十年的难题，证明了Gerver的沙发是能通过走廊且不被转角卡住的最大形状。
Baek的证明仍在同行评审中。他结合了数学不同领域的技术，让这个原本极其困难的问题变得可解，而且全程没有借助计算机。Zieve评价道：“Baek能不借助计算机完成证明，令人印象深刻，这表明其中有重要的新想法。”Gerver在提出方案30多年后，终于看到问题被解决，他感慨道：“我现在75岁了，能活着看到有人最终解决了这个问题，我觉得很幸运。”
论文简介
摘要：通过证明具有18个曲线段的Gerver沙发的确达到了最大面积2.2195，解决了移动沙发问题。作者这样定义Gerver的沙发G：刻度标记表示构成G边界的18条解析曲线和线段的端点。右侧显示了包含G的支撑走廊Lt，以灰色表示。Gerver的一个基本思想，就是将移动沙发S看作是旋转走廊的交集。从S的视角来看，S在走廊L内的运动。此时S在参考框架中是固定的，而L则围绕S旋转和平移，同时始终包含S。因此，S是旋转走廊的一个共同子集
在这篇论文中，作者证明了以下定理。这个问题之所以困难，是因为没有一个通用的公式可以计算所有可能的移动沙发的面积。为了解决这一问题，研究者证明了一个称为单射性条件的性质，该条件适用于最大面积的移动沙发。对于满足该条件的每个移动沙发S，都将定义一个更大的形状R，其形状类似于Gerver的沙发（见图1.2）。然后，R的面积Q(S)作为S面积的上界，并且当S是Gerver的沙发G时，Q(S) 恰好等于S的实际面积。S的单射性条件确保区域R的边界形成一个Jordan曲线，使我们能够利用格林定理计算Q(S)。为此，需要证明以下三点：
- 缩小最大面积移动沙发S_max的可能形状范围。
- 证明S_max满足单射性的条件。
- 在单射性条件下建立沙发面积的上界Q。
接下来将S_max的形状缩小为单调沙发，以下就是单调沙发S在走廊视角（左）和沙发视角（右）下，以旋转角ω=π/2运动的情况。然后，研究者证明了S_max的边长应该互相平衡。
他们重新推导了Gerver关于定理1.3.1的证明，证明了平衡最大沙发的存在，即存在一种具有最大面积的单调沙发，它可以被平衡多边形以足够接近的程度逼近。随后，他们证明了在前一阶段找到的平衡最大沙发允许以旋转角π/2进行运动。在论文最后，研究者提取了Gerver沙发G的相关性质，证明了G是全局最优解。
本文原文来自澎湃新闻