三门问题反直觉？从信息角度解释选择背后的概率学原理
三门问题反直觉？从信息角度解释选择背后的概率学原理
三门问题很多人应该都听过了，都知道它反直觉，但具体为什么反直觉，以及三门问题还有哪些变体呢？今天我们来详细的聊一聊概率论中的三门问题。我们先来阐述原题，如果熟悉原题的同学可以选择跳过这一段。
三门问题改编自美国的一档电视节目《Let's make a deal》，主持人蒙提霍尔会和参赛者进行一个游戏。
游戏是这样的，舞台上有三扇门，其中有一个门后面是一辆汽车，其余两个门后都是山羊，游戏目的就是要选到汽车。主持人是知道门后面有什么的，参赛选手是不知道的。游戏开始，参赛者首先会随机选取一个门，假设是门A，这时主持人会从另外两扇门中打开一扇后面是山羊的门，假设是门C，然后问参赛者，请问你要更换一扇选择的门吗，或者是你要选择门B吗？问题来了，参赛者到底要不要更换门呢？这就是三门问题，又因为主持人叫做蒙提霍尔，因此这个问题也叫做蒙提霍尔问题，蒙提霍尔悖论。
上期我们说了信息在贝叶斯定理中的重要性，通过信息把先验概率变成后验概率，这也正是贝叶斯定理的物理含义。
那我们接下来，将尽量不使用公式，而是通过信息的角度来解释一下这个问题。
蒙提霍尔悖论之所以叫做悖论，是因为它的答案是比较反直觉的，主持人排除了一个错误答案，还剩下两扇门，两扇门中只有一个是汽车，因此直觉告诉我们，每扇门后有汽车的概率不应该就是1/2吗？所以换不换门，参赛者得到汽车的概率都应该是1/2呀。但这个答案是错误的。为什么呢？首先参赛者随机选择一扇门，假设是门A，能够选择到车的概率是1/3，这个毫无疑问，此时如果我们整体考虑除了参赛者选择的门，也就是剩下的两扇门B和C，这两扇门中有车的概率就是1-1/3=2/3，然后主持人排除了一个错误答案门C，所以门B后面是车的概率就变成了2/3了，因为就只剩下门B了啊。而门A后面是车的概率依旧是原来的1/3，因此答案是应该换门，因为抽到汽车的概率从1/3变成了2/3。这就是三门问题，反直觉吗？我觉得还好。大家觉得反直觉是因为，主持人只是排除掉了一个错误答案，参赛者原来选的门概率没变，反而剩下的门概率翻倍了，这是为啥呢？
这是因为，原版三门问题一个很重要的细节是，主持人是站在一个上帝视角来打开门的，也就是说主持人是知道门后面都有什么的。这个很关键。只有主持人知道汽车的分布，然后他再排除掉一个错误答案，这个信息才会对汽车的概率分布有影响。
那我们就把原题改变一下，如果主持人不知道门后面有什么。当参赛者选完门后，主持人会在剩下的两个门中随机选择一个门，因为主持人不知道门后的情况，所以有可能会打开车，有可能会打开山羊，如果主持人恰好打开了一扇后面是山羊的门，其他什么都不变，还是问参赛者是否要换门，这个时候换与不换赢得汽车的概率是多少呢？这回答案就是1/2和1/2了。也就是除了主持人打开的门，剩下两个门中有汽车的概率是均等的，都是1/2。对比起来就比较反直觉了。对于参赛者来说面临的情况好像是一样的啊，为什么概率就变了呢？两次情况是不一样的，当主持人不知道门后的情况的时候，他只能随机选择门，这个信息并不会透露出包含汽车的任何内容。因此问题只是变成了从两扇门中选择一个包含汽车的门，所以答案是1/2。
为了更加直观一些，我们还是采取之前利用样本空间叠加的方式来解答。表头是参赛者可能选到的三种结果，分别是参赛者选择到了车、选择到了羊A和选择到了羊B，这三种情况显然是等概的。那我们先来考虑原版三门问题，也就是主持人是知道门后面都有什么的这种情况。如果选手选择到了车，然后主持人再排除掉一个错误答案，这种情况下选择叫换门，最终选手只会得到一只山羊。而剩下的两种情况，不管选手最开始选择到了羊A还是羊B，主持人排除掉另外一个错误答案之后，换门之后都会得到汽车，因此整体来看，换门得到汽车的概率是2/3，所以我们换句话说，换门之后能够得到汽车的概率，其实就是参赛选手最初能够选择到羊的概率，因此换门的概率是2/3。
再来看主持人不知道门后有什么的情况，由于主持人不知道门后有什么，所以主持人选门也是一种随机行为，此时我们就应该考虑两个样本空间的叠加了。表头是参赛选手选择到了车、羊A、羊B，在每种情况下，主持人的选择又会出现两种情况，分别是主持人选择到了羊A、主持人选择到了羊B，以及主持人选择到了车和羊B，以及主持人选择到了车和羊A，也就是一共会出现6种情况，在这六种情况当中，主持人选择到车会导致游戏结束，不符合题意，因此符合的只有4种情况，在这4种情况中考虑，参赛者换门得到汽车的概率是1/2，就不是2/3了。
这就是主持人的行为是否随机，对于整体事件概率的影响，因为他透露出包含车的信息是不同的。很多人别不过来劲儿，是因为过于关注从两个门中抽汽车这件事儿，但这是一个条件概率的问题，也就是抽中汽车的概率是建立在主持人排除掉一个错误答案的基础之上的，因此主持人具体是如何排除错误答案的，这个前置的概率不同，自然得到的结果也就不同。
当然我们也可以通过程序来模拟一下，第一段代码就是模拟的原版三门问题，我们模拟执行10000次，可以看到更换门获胜的概率大概是2/3左右，没问题。
第二段代码就是模拟的主持人不知道门后具体有什么，然后随机打开门的情况，如果主持人打开了汽车，则游戏结束，不算做统计范围，同样执行10000次，最终结果可以看到更换与不更换的概率大概都是50%左右。因此我们计算的结果是没问题的，也是符合大数定律的。
理解了这个问题，那么对于N门的变体问题也就很好理解了。比如说假设有100个门，其中只有一个是汽车，参赛者选择其中一个门，主持人是知道门后都有什么的，然后帮忙排除了98个不是汽车的门，那现在场上只有两个门了，这个时候问选手，是否要换门呢？肯定要交换啊，因为换门赢得汽车的概率是99/100。这个可能还好理解一些是吧。同样，如果主持人不知道门后有什么，只是随机打开了98扇门，恰好门后面都是羊，当然这个概率很低。不过没关系，我们就考虑这种情况发生了的情况下。此时再问参赛选手是否要换门，换与不换就都是一样的，概率都是1/2。这也就解释了另外一个误解，假如有一种彩票一共有100张，其中只有一张有奖。分别被100个人买走了，我买了一张。当我看到有98个人已经刮开奖券了，都是没中奖，还剩下我和另外一个人，此时我是不是应该想，我得和他交换，因为他中奖概率是99/100，而我只有1/100，如果要是这样的话，那巧了，他也肯定会这么想，觉得我这种中奖的概率是99/100，于是我们两个不停地交换彩票。是这样吗？不是的。每个人打开彩票的行为是随机的，他们并不知道彩票的中奖分布，因此最后剩两张彩票，每张中奖概率就都是50%，而不会出现前面所说的矛盾的情况。
三门问题通过主持人的行为能够影响另一扇门的概率，这还算比较好接受，但如果把主体换成主观的人，那很多人就又蒙了。比如说再看另外一个三门问题的变体，叫做三个囚徒问题。说有三个死刑犯ABC，典狱长决定赦免一个人，名单已经确定好了，然后把消息告诉了看守，看守是知道谁即将被赦免的。在即将被处刑的前一天晚上，小A就坐不住了，他跑过去问看守，请问我是被赦免的那个人吗？看守说，我不能告诉你，我不能向你透露任何关于你的信息。不过我可以告诉你，在B和C之中，B是要被执行死刑的人。说完看守就走了。小A高兴了，心想，原本我被赦免的概率是1/3，现在排除了B，只剩下我和C了，所以我被赦免的概率从1/3变成了1/2。于是小A找到了小C，告诉了他事情的原委，说现在咱俩被赦免的概率都是1/2了，小C听完了之后，说不对，你被赦免的概率还是1/3，而我被赦免的概率则变成了2/3。谁说的对呢？如果你明白了三门问题，答案很显然，小C说的是正确的。只是因为小A问了一下看守，却提高了小C生存的几率，这是不好理解的地方。其实看守说的话已经透露了玄机，看守说我不能透露关于你的信息，只能告诉你在B和C之中B是即将被处死的人，整体考虑BC，其中有一个人被赦免的概率是2/3，又因为看守排除了一个B，所以C被赦免的概率就变成了刚才整体的2/3了。
那我们再变动一下，如果看守当着A和C的面说，B是即将被处死的人，这回A和C被赦免的概率分别是多少呢？这回就是各50% 了。因为看守说的话并不包含A和C的任何内容，就像我们刚才举得彩票的例子是一样的。
至此相信各位对于三门问题应该是更加了解了。好了，本期关于三门问题的视频就到这里，我是妈咪叔，一个较真儿的理工男，咱们下期见，拜拜。