集合的概念

集合的概念

具有某种确定性质的对象的全体称为集合（简称集），组成集合的个别 对象称为集合的元素. 习惯上，用大写英文字母 $A,B,C,\cdots$ 表示集合， 用小写字母 $a,b,c,\cdots$ 表示集合的元素. $a\in A$ 表示 $a$ 是集 $A$ 的元素 (读作 $a$ 属于 $A$ )， $a\notin A$ 表示 $a$ 不是集 $A$ 的元素（读作 $a$ 不属 于 $A$ ). 集合按照元素的个数分为有限集和无限集，不含任何元素的 集合称为空集，记为 $\varnothing$.

我们把自然数的全体组成的集合称为自然数集，记作 $\mathrm{N}$. 由整数的全体 构成的集合称为整数集，记为 $\mathrm{Z}$. 用 $\mathrm{Q}$ 表示全体有理数构成的有理数集， $\mathrm{R}$ 表示全体实数构成的实数集. 显然有 $\mathrm{N}\subset \mathrm{Z}\subset \mathrm{Q}\subset \mathrm{R}$.

如果是正整数集，则记为 ${Z}^{+}$，负整数集记为 ${Z}^{-}$，以此类推.

注：在本书中所讨论的数集除特别说明外均为实数集.

集合及其运算

集合的基本运算有四种: 并、交、差、补.

设 $A,B$ 是两个集合.

由同时包含于 $A$ 与 $B$ 的元素构成的集合 (见图 1-2)，称为 $A$ 与 $B$ 的交集（简称交），记作 $A\cap B$ ，即 $A\cap B=\left{x\mid x\in A\text{且}x\in B{\right}}_{\text{～}}$

由包含于 $A$ 或包含于 $B$ 的所有元素构成的集合（见图 1-3），称为 $A$

与 $B$ 的并集（简称并），记作 $A\cup B$ ，即 $A\cup B=\left{x\mid x\in A$ 或 $x\in B\right}$ ；

由包含于 $A$ 但不包含于 $B$ 的元素构成的集合 (见图 1-4)，称为 $A$ 与 $B$ 的差集 (简称差)，记作 $A\mathrm{\setminus }B$ ，即 $A\mathrm{\setminus }B=\left{x\mid x\in A$ 且 $x\notin B\right}$ ；

特别地，若我们所讨论的问题在某个集合（称为基本集或全集，一般记为 $U$ ) 中进行，集合 $A$ 是 $U$ 的子集 (见图 1-5)，此时称 $U\mathrm{\setminus }A$ 为 $A$ 的余集 (或补集)，记作 ${C}_{U}A$ 或 ${A}^{C}$.

关于集合的余集，我们有如下性质.

性质1 (对偶性质) 设 $U$ 是一个基本集， $A,B$ 是它的两个子集，则

$\left(A\cup B{)}^{C}={A}^{C}\cap {B}^{C}$

$\left(A\cap B{)}^{C}={A}^{C}\cup {B}^{C}$

除了集合的四种基本运算，我们还可以定义两个集合的乘积. 设 $A,B$ 是两个非空的集合，则由有序数对 $\left(x,y\right)$ 组成的集合

$A×B=\left{\left(x,y\right)\mid x\in A,y\in B\right}$

称为 $A$ 与 $B$ 的直积.

例如：

设 $A=\left[0,1\right],B=\left[0,2\right]$

则 $A×B=\left{\left(x,y\right)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 2\right}$ ， 如图 1-6所示. $\mathrm{R}×\mathrm{R}=\left{\left(x,y\right)\mid x,y\in \mathrm{R}\right}$ 即为 $xOy$ 面上全体点 的集合， $\mathrm{R}×\mathrm{R}$ 常记作 ${\mathrm{R}}^{2}$.