程序员爸爸：我怎么让7岁儿子搞懂抽象的数学概念的…
程序员爸爸：我怎么让7岁儿子搞懂抽象的数学概念的…
在数学学习中，抽象思维是一个重要的能力。一个程序员爸爸通过具体的数学推理过程，帮助自己的孩子理解了负数次方和分数次方的概念。这个过程不仅展示了如何通过数学推理来解决抽象的数学问题，也为其他家长提供了一个很好的示范。
小朋友学数学，首先是从具体的东西开始，比如点数，或者掰手指来算加减法。
接下来，我们要学习把数从具体的东西中抽象出来，也就是说，在算加减乘除的时候，脑子里关心的是数字，而不再是具体的东西了。
再下一步，我们要学习把数的结构和关系从具体的数中抽象出来，也就是说，我不再关心具体是什么数，我只关心结构和关系，什么数放进去都满足这样的结构和关系——这就是代数。
数学就是这样一层一层抽象上去的，每抽象一层，再看前一层的东西时，就会犹如居高临下，拥有了一个新的视角。
前些日子听说Vita哥哥的小表哥去参加了一个编程比赛，他妈妈跟我说里面有一道题涉及了负数次方的概念，小家伙不懂，所以没做出来，有点遗憾。
我忽然觉得这是个很有趣的问题。
负数次方其实并不是一个独立的概念，只不过是把指数扩展到了负数而已，就好像我们可以把加减乘除运算扩展到负数一样，它一定是能够从已知的一些规律推导出来的。
负数怎么能与负数相乘？
带孩子理解“乘法”的本质
一年半之前，我跟Vita哥哥推导过两个负数相乘的规律。
简单总结一下：
首先，我们知道乘法就是连加，那么我们很容易把其中一个乘数推广到负数，例如：
如果另一个乘数也推广到负数，我们可以把其中一个负数的乘数写成两个正数的差，然后用乘法分配律展开：
现在用刚才一个乘数是负数的计算方法，分别计算1x(-5)和8x(-5)，就可以得到(-7)x(-5)=35：
通过这个例子，娃学会了怎样使用数学语言来进行推理（尽管这并不是一个严格的证明），我觉得这是一个很重要的数学能力。
好了，那么这次的问题就是：
我把问题写在了白板上，希望他能够尝试自己想一想。
一开始他也找不着思路，我提示他可以回忆一下，当两个底数相同的幂相乘的时候，指数是怎样变化的。
有了这个提示，他最后还真的给做出来了，虽然推理过程写得十分混乱，大家感受一下：
这个推理的核心都在画红圈的地方，我来替他整理一下。
首先，底数相同的两个幂相乘，指数是相加的关系，我看到他在上方写了几个例子，比如10²x10³=10⁵，但是令我比较意外的是他把这个规律写成了两条公式：
Hmm，不简单呐，说明已经有一定的代数思想了。
后面的推理大致是这样的：
如果设a和b互为相反数，比如2和-2，那么就有：
到这里，他把n用我问题中的数2代入，于是有：
两个数的乘积等于1，说明它们互为倒数，因为2²=4，所以：
Bingo！
好吧，既然你已经有了代数思维，那不妨进一步总结一下这个规律如何？
不错不错，就是这个啦：
既然有点上道了，那么就再来个进阶的吧：
好了，这次是问2的1/2次方等于几？
其实思路跟之前差不多，我就没多提示了，哄妹妹去午睡，出来之后我看到了这个：
Bingo！
整理一下：
因为2的1/2次方乘以它自己等于2，所以2的1/2次方等于2的平方根。
到这里，我们又可以追问了，这个规律能不能总结成公式呢？
基本上能写出来啦，只不过，a次根号这个写法Vita哥哥是不会的，是我告诉他这么写的，没办法，这个实在有点超纲啦。。。
娃在解决这两个问题当中所展现的代数思想让我感觉惊喜了一下下，毕竟代数属于比较高级的抽象。
“抽象”是理解数学概念的关键
小朋友学数学，首先是从具体的东西开始，比如点数，或者掰手指来算加减法。
接下来，我们要学习把数从具体的东西中抽象出来，也就是说，在算加减乘除的时候，脑子里关心的是数字，而不再是具体的东西了。
再下一步，我们要学习把数的结构和关系从具体的数中抽象出来，也就是说，我不再关心具体是什么数，我只关心结构和关系，什么数放进去都满足这样的结构和关系——这就是代数。
数学就是这样一层一层抽象上去的，每抽象一层，再看前一层的东西时，就会犹如居高临下，拥有了一个新的视角。
比如说，说到偶数和奇数，从代数的视角来看，就是2n和2n+1（n是整数），用这样的结构去推导很多性质就非常容易了，比如加减法的奇偶性；说到一个三位数，那就是100a+10b+c（a是19的整数，b、c是09的整数），进而你可以由此理解各种进制的本质……
你看到了更多本质的东西，这就是代数的魅力。
所以，如果娃的抽象思维能力还不错，了解一下代数的思想还是很有必要的，说不定就打开了什么新世界的大门。
Vita哥哥从图书馆借到了一本很不错的书，他很喜欢看，了解一下：
《可怕的科学》系列 应该是很有名的，这本讲代数的也是这个系列一贯的风格——各种无厘头和冷笑话，娃看完经常会记得这些桥段，比如这张讲二次方程解法的图：
他看完就经常跟我叨叨那个什么“应急按钮”，神秘兮兮的，哈哈，应急按钮到底是啥呢？原来是那个求根公式：
除此之外这本书还有很多有趣的内容，比如帕斯卡三角（杨辉三角）与N次多项式系数的关系：
以及函数和图像：
对于小学生来说，内容虽然还是有点难度的，但是架不住很多地方确实很搞笑，感兴趣的话买一本看看吧。
顺便让自己回忆一下这些知识，不要过两年被娃鄙视了……