定积分的换元积分法和分部积分法

定积分的换元积分法和分部积分法

定积分的换元积分法

我们用换元法计算不定积分时，没有考虑原变量x与新变量t的取值范围，如果用换元法计算定积分，原积分变量x与新变量t的变化区间会有所不同，即积分区间会随之改变，而且我们还必须要求新的积分区间应该是唯一的，这就要求代换函数x＝φ(t)具有连续导数且反函数有单调性．我们用下面的定理介绍这个方法．

定理1

设f(x)在［a，b］上连续，函数x=φ(t)满足
（1）φ(α)=a，φ(β)=b；
（2）φ(t)在［α，β］或［β，α］上具有连续导数且值域为［a，b］，
则有（5-4）

可以看出：我们只要计算在新的积分变量下，新的被积函数在新的积分区间的积分值，从而避免了积分后新变量要代回到原变量的麻烦．

证明

如果∫f(x)dx＝F(x)＋c，则∫f［φ(t)］φ′(t)dt＝F［φ(t)］＋c，

注意事项

（1）定积分的换元与不定积分的换元的不同之处在于：定积分在换元之后，积分上、下限也要作相应的变换，即“换元必换限”，并且换元之后不必回代；
（2）由φα=a,φβ=b确定的α,β，可能α>β，也可能α<β．但对新变量t的积分来说，一定是α对应于x=a的位置，β对应于x=b的位置．

例题

【例1】

【例2】

可以看出，这时由于没有进行变量代换，积分区间不变，计算更简便

【例3】

【例4】

【例5】

【例7】

【例8】

【例9】

定积分的分部积分法

设u=u(x)，v=v(x)在区间［a，b］上有连续的导数，则

(uv)′=u′v+uv′．

即uv′=(uv)′－u′v．

等式两端取x由a到b的积分，即得（5-5）

或写为．（5-6）

式（5-5）或式（5-6）称为定积分的分部积分法．

由不定积分和定积分的分部积分公式可看出，定积分的分部积分法与不定积分的分部积分法类似，只要注意计算定积分的积分上限与积分下限原函数值的差即可.

例题

【例10】

【例11】