三维不等式柯西定理应用举例
三维不等式柯西定理应用举例
三维不等式柯西定理是数学中一个重要的不等式定理，广泛应用于求解最值问题。本文将详细介绍该定理的内容及其在实际问题中的应用，通过具体的数学例子，帮助读者理解如何运用这个定理来解决问题。
三维不等式柯西定理：
$$(s_1^2+s_2^2+s_3^2)(t_1^2+t_2^2+t_3^2) \geq (s_1t_1+s_2t_2+s_3t_3)^2$$
定理证明
证明：
定义函数$f(x)$为：
$$f(x)=(s_1+t_1x)^2+(s_2+t_2x)^2$$
将$f(x)$转化为二元函数的标准形式$y=ax^2+bx+c$得：
$$f(x)=(t_1^2+t_2^2)x^2+2(s_1t_1+s_2t_2)x+(s_1^2+s_2^2)$$
因为$f(x) \geq 0$，所以它只有一个解或无解，即：
$$\Delta=4(s_1t_1+s_2t_2)^2-4(t_1^2+t_2^2)(s_1^2+s_2^2) \leq 0$$
所以：
$$(t_1^2+t_2^2)(s_1^2+s_2^2) \geq (s_1t_1+s_2t_2)^2$$
令函数$f(x)=0$，则每个平方项都必须为0，即：
$$s_1+t_1x=0 \Rightarrow x=-\frac{s_1}{t_1}$$
$$s_2+t_2x=0 \Rightarrow x=-\frac{s_2}{t_2}$$
则要使函数有零点，即$\Delta=0$，则必须有：
$$\frac{s_1}{t_1}=\frac{s_2}{t_2}$$
证毕。
应用举例
例1
若正数$a,b,c,x,y,z$满足$a^2+b^2+c^2=298,x^2+y^2+z^2=113$，求$ax+by+cz$的最小值。
解：直接使用上述柯西三维不等式有：
$$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \geq (ax+by+cz)^2$$
代入数值即可得：
$$298 \times 113 \geq (ax+by+cz)^2$$
即：
$$(ax+by+cz)^2 \leq 33674$$
由于所有变量均为正数，则：
$$ax+by+cz \leq \sqrt{33674}$$
所以$ax+by+cz$的最小值为：
$$\sqrt{33674}$$
例2
若正数$x,y,z$满足$x^2+y^2+z^2=299$，求$x+y+z$的最小值。
解：使用柯西三维不等式有：
$$(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2) \geq (x+y+z)^2$$
即：
$$(x^2+y^2+z^2)(1^2+1^2+1^2) \geq (x+y+z)^2$$
则：
$$299 \times 3 \geq (x+y+z)^2$$
进一步有：
$$(x+y+z)^2 \leq 897$$
所以正数$x+y+z$的最小值为：
$$\sqrt{897}$$
例3
若$a+b+c=152$，求$256a^2+36b^2+36c^2$的最小值。
解：使用上述不等式，出现和的平方，即已知条件转换为不等式右边和的平方，则所求代数式需要变形成两个三项式平方和的乘积。
$$256a^2+36b^2+36c^2=(16a)^2+(6b)^2+(6c)^2$$
进一步变形为：
$$[(16a)^2+(6b)^2+(6c)^2]\left[\left(\frac{1}{16}\right)^2+\left(\frac{1}{6}\right)^2+\left(\frac{1}{6}\right)^2\right]$$
$$\geq \left[\left(\frac{16a}{16}\right)+\left(\frac{6b}{6}\right)+\left(\frac{6c}{6}\right)\right]^2$$
$$=(a+b+c)^2=152^2$$
即：
$$(256a^2+36b^2+36c^2) \cdot \frac{137 \cdot 12^2}{576^2} \geq 152^2$$
所以：
$$256a^2+36b^2+36c^2 \geq \frac{1}{137} \cdot 7296^2$$
例4
若$24x+3y+14z=121$，求$x^2+y^2+z^2$的最小值。
解：运用三维柯西不等式，有：
$$(x^2+y^2+z^2)(24^2+3^2+14^2) \geq (24x+3y+14z)^2$$
即：
$$(x^2+y^2+z^2)(24^2+3^2+14^2) \geq 121^2$$
$$(x^2+y^2+z^2) \cdot 781 \geq 121^2$$
$$x^2+y^2+z^2 \geq \frac{121^2}{781}$$
即：
$$x^2+y^2+z^2 \geq \frac{1331}{71}$$
所以$x^2+y^2+z^2$的最小值为：
$$\frac{1331}{71}$$