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矩阵的几何意义是什么？一文带你读懂

创作时间:

作者:

@小白创作中心

矩阵的几何意义是什么？一文带你读懂

引用

CSDN

https://blog.csdn.net/weixin_44705554/article/details/145689126

矩阵不仅是线性代数中的核心概念，更是连接代数与几何的重要桥梁。本文将深入探讨矩阵的几何意义，通过直观的图形和严谨的数学推导，帮助读者理解矩阵如何表示空间变换，以及这些变换背后的几何本质。

1. 矩阵的几何意义

让我详细解释矩阵与几何变换的对应关系：

基向量的概念

在原始坐标系中（左图）：
蓝色箭头是基向量 i = (1,0)
粉色箭头是基向量 j = (0,1)
这两个基向量定义了标准坐标系

矩阵的几何意义

对于矩阵A = ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}A=(a11 a21 a12 a22 )：

第一列( a 11 a 21 ) \begin{pmatrix} a_{11} \ a_{21} \end{pmatrix}(a11 a21 )表示变换后的基向量 i 的新坐标
第二列( a 12 a 22 ) \begin{pmatrix} a_{12} \ a_{22} \end{pmatrix}(a12 a22 )表示变换后的基向量 j 的新坐标

变换过程（右图）

蓝色箭头：原本的 i 向量被变换到新位置( a 11 , a 21 ) (a_{11}, a_{21})(a11 ,a21 )
粉色箭头：原本的 j 向量被变换到新位置( a 12 , a 22 ) (a_{12}, a_{22})(a12 ,a22 )
这两个新向量定义了变换后的坐标系

矩阵的迹的几何意义

t r ( A ) = a 11 + a 22 tr(A) = a_{11} + a_{22}tr(A)=a11 +a22

a 11 a_{11}a11 表示 i 向量在 x 方向的伸缩
a 22 a_{22}a22 表示 j 向量在 y 方向的伸缩
它们的和反映了整体的面积变化趋势

例如，对于矩阵：

A = ( 2 1 − 1 3 ) A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ -1 & 3 \end{pmatrix}A=(2−1 13 )

i 向量从 (1,0) 变换到 (2,-1)
j 向量从 (0,1) 变换到 (1,3)
迹 = 2 + 3 = 5 表示整体有扩张趋势

这种对应关系帮助我们理解：

矩阵的每个元素都对应具体的几何变换
迹反映了变换的整体特性
变换可以通过基向量的变化直观理解

2. 矩阵的几何意义，就是有一个矩阵A,让向量发生线性转换？

是的，矩阵 A 就是一个线性变换算子，它能将向量进行线性转换。让我解释这个过程：

线性变换的本质

矩阵 A 作用于向量 v 的过程可以写作：

A v ⃗ = ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) ( x y ) = ( a 11 x + a 12 y a 21 x + a 22 y ) A\vec{v} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}x + a_{12}y \ a_{21}x + a_{22}y \end{pmatrix}Av=(a11 a21 a12 a22 )(xy )=(a11 x+a12 ya21 x+a22 y )

变换的特点

保持原点不变（向量 (0,0) 变换后仍是 (0,0)）
保持直线性（直线变换后仍是直线）
保持向量加法（( A v 1 ⃗ + A v 2 ⃗ ) = A ( v 1 ⃗ + v 2 ⃗ ) (A\vec{v_1} + A\vec{v_2}) = A(\vec{v_1} + \vec{v_2})(Av1 +Av2 )=A(v1 +v2 )）
保持标量乘法（A ( c v ⃗ ) = c ( A v ⃗ ) A(c\vec{v}) = c(A\vec{v})A(cv)=c(Av)）

常见的线性变换

旋转：A = ( cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) A = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}A=(cosθsinθ −sinθcosθ )
缩放：A = ( s x 0 0 s y ) A = \begin{pmatrix} s_x & 0 \ 0 & s_y \end{pmatrix}A=(sx 0 0sy )
镜像：A = ( 1 0 0 − 1 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix}A=(10 0−1 )

变换的计算

例如，对于向量v ⃗ = ( 2 , 1 ) \vec{v} = (2,1)v=(2,1)和矩阵A = ( 0 1 1 0 ) A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix}A=(01 10 )：

A v ⃗ = ( 0 1 1 0 ) ( 2 1 ) = ( 1 2 ) A\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix}Av=(01 10 )(21 )=(12 )

在上图中：