向量内积（点乘）和外积（叉乘）

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@小白创作中心

向量内积（点乘）和外积（叉乘）

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CSDN

https://m.blog.csdn.net/qq_44924694/article/details/144708266

向量的内积（点乘）和外积（叉乘）是线性代数中的两个重要概念，它们在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。本文将从定义、几何意义、重要性质到应用场景，全面介绍这两个概念，并通过对比帮助读者更好地理解它们的区别与联系。

1. 向量的内积（点积）

1.1 定义

对于n维向量$\mathbf{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)$和$\mathbf{b} = (b_1, b_2, ..., b_n)$，其内积定义为：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_i b_i
$$
三维向量特例：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta
$$
（$\theta$为两向量夹角）

1.2 几何意义

表征两个向量的投影关系
计算向量夹角的余弦值
判断向量正交性：当内积为0时两向量垂直

表征两个向量的投影关系

如上图，可以通过向量内积计算向量$\mathbf{P}$在$\mathbf{Q}$上的投影为：
$$
\text{proj}\mathbf{Q} \mathbf{P} = \frac{\mathbf{P} \cdot \mathbf{Q}}{|\mathbf{Q}|^2} \mathbf{Q}
$$
向量$\mathbf{P}$垂直于$\mathbf{Q}$的分量为：
$$
\text{perp}\mathbf{Q} \mathbf{P} = \mathbf{P} - \text{proj}\mathbf{Q} \mathbf{P} = \mathbf{P} - \frac{\mathbf{P} \cdot \mathbf{Q}}{|\mathbf{Q}|^2} \mathbf{Q}
$$
其中，向量$\mathbf{P}$在$\mathbf{Q}$上的投影可以看作$\mathbf{P}$的线性变换，可以写成矩阵向量积：
$$
\text{proj}\mathbf{Q} \mathbf{P} = \frac{1}{|Q|^2} \begin{bmatrix} Q_x^2 & Q_x Q_y & Q_x Q_z \ Q_x Q_y & Q_y^2 & Q_y Q_z \ Q_x Q_z & Q_y Q_z & Q_z^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} P_x \ P_y \ P_z \end{bmatrix}
$$

计算向量夹角的余弦值

根据向量内积公式：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta
$$
已知$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$可以计算其夹角。另外还可以推导三角形的余弦定理。如下图所示，根据图中的关系可知：$\mathbf{c}=\mathbf{a}-\mathbf{b}$，因此
$$
\mathbf{c}^2=\mathbf{(a-b)}^2=\mathbf{a}^2+\mathbf{b}^2-2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\mathbf{a}^2+\mathbf{b}^2-2|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta
$$
上述即余弦定理的公式。

1.3 重要性质

交换律
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}
$$
分配律
$$
\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}
$$
数乘结合律
$$
(k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})
$$
正定性
$$
\mathbf{a}^2 \geq 0
$$
当且仅当$\mathbf{a}^2 = 0$时，有$\mathbf{a} = 0$。
对称性
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}
$$
线性性
$$
(\lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = \lambda (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) + \mu (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})
$$
对任意实数$\lambda, \mu$均成立。
向量夹角公式
$$
\cos \angle (\mathbf{a, b}) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{|a||b|}}
$$
柯西-施瓦茨不等式
$$
|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq \mathbf{|a||b|}
$$
当且仅当$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$共线时，等号成立。

1.4 应用场景

计算向量夹角：$\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$
物理中的功计算：$W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{s}$
机器学习中的相似度计算

2. 向量的外积（叉积）

2.1 定义（仅适用于三维空间）

对于三维向量$\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)$和$\mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)$：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ a_x & a_y & a_z \ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}
$$
模长计算公式：
$$
|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \sin\theta
$$
其方向遵循右手法则：

另外，也可以将向量的表示转化为矩阵的运算：

2.2 几何意义

结果向量垂直于原向量所在平面
模长等于两向量构成的平行四边形面积
方向遵循右手法则

2.3 重要性质

反交换律：$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\mathbf{b} \times \mathbf{a}$
与自身叉积为零：$\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}$
分配律：$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$

2.4 应用场景

计算平面法向量
物理中的力矩计算：$\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$
计算三角形/平行四边形面积

3. 内积与外积对比

特性	内积（点积）	外积（叉积）
结果类型	标量	向量
几何意义	投影关系	面积与方向
计算公式	$\sum a_i b_i$或$ab\cos\theta$	$ab\sin\theta$且方向垂直
交换律	满足	不满足（反交换）
零结果条件	向量正交	向量平行
适用空间	任意维度	仅限三维空间