HRB：一种优于HRP的风险预算模型

HRB：一种优于HRP的风险预算模型

在金融风险管理领域，Hierarchical Risk Budgeting (HRB)模型因其独特的可视化、灵活性和稳健性而备受关注。本文基于Koumou（2023）的研究，深入探讨了HRB模型的理论基础、与传统风险平价（HRP）模型的比较，并通过实证研究验证了其有效性。

风险预算（RB）方法概述

在资产配置的相关方法中，风险平价（Risk Parity，RP）和风险预算（Risk Budgeting，RB）都是从风险角度进行资产配置的重要方法。其中，RP方法给每类资产分配同样的风险权重，而RB方法的目标是最大化单位风险的收益（maximize return per unit of risk），从而达到最优的风险预算（optimal risk budget）。

Koumou（2023）提出的RB方法的核心概念和定义包括：

1. 用向量表示一个多头（long-only）的个风险资产投资组合，其中是资产的权重。
2. 是一个凸风险度量，满足Euler分解，即，其中是资产的风险贡献。
3. 资产的风险贡献定义为，是资产的比例风险贡献度：。
4. 定义了一个指标被定义为衡量投资组合风险贡献（或丰富度）多样性的指标：

是资产间的相似性矩阵（即：），是资产风险贡献的缩放向量。该指标的值域在[1, N]之间，其中N是资产的数量。

• 表示投资组合在风险丰富性方面的多元化程度，取值范围在[1, N]。
• 值越高，表示投资组合在风险丰富性方面的多元化程度越高。
• 当接近1时，意味着资产在风险方面更相似，或者风险贡献度更集中。
• 相反，当它接近时，资产在风险方面更不相似。

基于此，Koumou（2023）提出了一种基于的RB方法，该方法旨在最大化投资组合的风险贡献多元化，定义如下：

是一组long-only投资组合。该方法可以通过一个两步问题来重新构建：

A1第一步：预算选择
确定最优的预算分配，以最大化。这一步的目标是找到一个预算分配，使得在给定的预算约束下，投资组合的风险贡献多元化达到最大。

A2第二步：RB
在确定了最优预算后，投资者需要根据这个预算来选择资产，构建出一个实际的投资组合。

其中是第一步的解。

1. 可以看出相似性矩阵是RB方法的核心，它反映了资产间的相似性。
2. Koumou（2023）提供了关于如何校准这个矩阵的方法，建议使用资产间的依赖度量，例如Pearson相关系数。
3. 文中提出了使用层次聚类（hierarchical clustering）来校准相似性矩阵，并将由此产生的RB方法称为HRB（Hierarchical Risk Budgeting）。

HRB模型的定义与特征

基本定义

1. 引入了一个异度矩阵，其中表示资产和资产之间的不相似性。
2. 使用进行层次聚类，输出为资产集合的层次家族划分，称为树状图。
3. 树状图通常以根树或等效的超度量（ultrametric matrix）异度矩阵进行表示，超度量异度矩阵是通过过滤原始矩阵得到的，其中衡量算法将资产和资产合并到同一簇所需的最小努力。

下表提供了树状图与超度量异度矩阵之间关系的说明：

基于，我们定义一个相似性矩阵，其中：

是一个严格递减的实数函数

需要注意的是，因为是一个超度量矩阵，根据Dellacherie, Martinez, and San Martin (2014)，也是一个超度量矩阵，但要满足下面三个条件：

由于是一个严格递减的实数函数，前两个条件自然满足，但最后一个条件并不总是满足的。

最后，我们使用相似性矩阵定义了HRB：

核心特征

1. 可视化
   HRB方法继承了层次聚类的可视化特性，这可以通过树状图以及过滤后的矩阵或的可视化表示来展示。

2. 灵活性
   HRB方法的灵活性不仅源于其高度参数化的特性，还因为它是基于优化的方法，这使得它可以方便地引入额外的约束和目标。

3. 稳健性
   HRB方法的稳健性来自于超度量异度矩阵及其相似性对应矩阵的稳健性。特别是当定义为时，其中代表资产和之间的皮尔逊相关系数时，这种稳健性尤为明显。

此外，HRB方法的稳健性还体现在，即使在是超度量的情况下，它也能保持稳健性，这一点在附录中有证明。因此，与HRP类似，HRB方法具有以下优势：

• 能够构建一个具有ill-degenerated或奇异协方差矩阵的投资组合。
• 能够产生一个在权重和规模上良好分散化的投资组合，这种组合对于特定风险和共同风险具有稳健性，但不一定对系统性风险具有稳健性。

纳入预期收益

传统的RB方法没有考虑资产的预期收益。尽管准确预测预期收益存在挑战，但文献中仍有大量研究致力于将预期收益纳入RB中。具体详见：

• See Meucci (2009)
• Boudt, Carl, and Peterson (2012)
• Roncalli (2015)
• Haugh, Iyengar, and Song (2017)
• Ardia, Boudt, and Nguyen (2018)
• Costa and Kwon (2020)
• Simonian and Martirosyan (2022)

再此不做介绍。

我们在后面的介绍中将引用Costa and Kwon (2020)的方法：

一个修改版的两步公式（公式A1和A2），具体定义如下：

步骤1

步骤2

在这个修改版中，是公式步骤1的解，是相似性（依赖风险）的回避系数，是的倒数。需要注意的是，当趋于无穷大时，步骤1公式和步骤2公式与HRB基本重合。

这个修改版的公式有以下优点：

1. 保持了RB的解释；
2. 更直接易操作；
3. 通过依赖过滤后的相似性矩阵的稳健性，有效减少了估计预期收益时的错误，而不是引入额外的稳健结构。

文章的其余部分集中在解决步骤1公式和步骤2公式，也俗称它们为HRB。

HRB与HRP的比较

使用15只交易所交易基金（以下简称15ETF）2006年8月2日至2023年3月31日的每日收盘价计算相应的收益。

在样本内分析中，使用2006年8月2日至2023年3月31日这段时间作为评估窗口。样本外采用滚动窗口方法，窗口跨度为356天，每月更新一次。

评价指标有：Mean (RET)、Volatility (SD)、Maximum drawdown risk (MDD)、 Sharpe ratio (SR)、Calmar ratio (CR)、Turnover (TO)、Cumulative returns (CRET)、Herfindahl index (HI)

样本内分析

样本外分析

总结

基于Koumou（2023）的风险预算方法，本文提出了一种基于过滤相似性矩阵的HRB方法，该方法具有可视化、灵活性和稳健性等吸引人的特性。

利用其灵活性和稳健性，HRB可以扩展以纳入资产的预期收益，而无需额外的约束来控制估计误差。

实证表明，HRB是一个有希望替代经典HRP的方案，尤其是在考虑资产的预期收益时。