从傅里叶级数到希尔伯特空间：数学之美
从傅里叶级数到希尔伯特空间：数学之美
傅里叶级数是数学中一个极其重要的工具，它改变了我们感知和操作世界的方式。从18世纪开始，经过多位数学家的努力，傅里叶级数逐渐发展成为现代数学和工程学中的基石。本文将带你从音乐弦振动问题出发，探索傅里叶级数的起源、发展及其在现代数学中的重要地位。
傅里叶级数（Fourier Series）是一种极其重要的数学工具，它改变了我们感知和操作世界的方式。但你知道吗？有七项发现相继出现，没有它们，傅里叶级数就不会出现。
傅里叶级数是如何在18世纪开始的？三角级数起源于研究物理和天文学中的实际问题，例如行星轨道和波动运动，
但有一个有趣的问题是音乐弦的振动。人们渴望制造出更好听的乐器，更好地理解声音的本质，这需要研究振荡（Oscillations）。
想象一根紧绷在两个固定点之间的弦，比如吉他弦。你拨动弦，最初产生一个大波。
拨动后，弦不会直接恢复平直，而是开始振动，形成一系列较小的波。这种研究被称为振动弦问题（Vibrating String Problem），用来解它的波动方程在这里以最简单的形式呈现，
其中y是在某点x和时间t的弦的位移，v是波在弦中的传播速度。当你拨动吉他弦时，你会使弦的一部分偏离它的静止位置，弦在释放瞬间的初始形状形成了波动方程的初始条件。吉他弦的两端是固定的，这意味着这些点的位移y必须始终为零，这被称为边界条件。使用微积分方法，可以解波动方程。
这些振动可以分解为更简单的规则波，称为正弦波，本质上是数学家使用正弦和余弦描述的平滑波。
像达朗贝尔和丹尼尔·伯努利这样的数学家提出用正弦和余弦项的和表示y，
或称为三角级数。波动方程的解揭示了弦不仅以基本频率（最低、最简单的振动模式）振动，而且还以更高的谐波振动，其中弦显示出更复杂的振动模式。
基本频率：每一根振动的弦都有一个最低的振动频率，称为基本频率。这是振动幅度最大，形式最简单的一种振动模式，通常只有半个波长贯穿整个弦长。在这个模式下，弦的振动形态看起来像一个单一的弧形。
更高的谐波：除了基本频率外，弦还可以以更高的频率振动，这些称为谐波或泛音。每个谐波都对应一个特定的振动模式，频率是基本频率的整数倍。谐波的振动形态比基本频率的更复杂，包含更多的波峰和波谷。例如，二次谐波将有一个完整的波长分布在弦长上，形成两个弧形。
因此，每种模式代表一个特定的音乐音符。有趣的是，从研究这些简单的事情开始，它是如何进化成更先进的东西，比如进一步的研究表明，三角级数具有分析更复杂问题的潜力，它就是这样开始的，仅仅作为一个应用，然后它成为了一个数学领域。
约瑟夫·傅里叶对温度如何在不同材料中随时间变化和分布非常感兴趣，特别是研究热如何在这些材料中流动和传播。
他在估算地球深处的温度时遇到了挑战，他受到三角级数在解释振荡和振动方面的成功的启发，并提出可以将类似的技术应用于其他物理现象，例如在他的开创性著作《热的分析理论》中，傅里叶正式介绍了我们现在所称的傅里叶级数。
傅里叶将正弦波的概念进一步应用于完全不同的东西，比如热是如何沿着一根金属棒传播的，假设棒的一端被加热，你想知道热是如何随时间沿着棒传播的。
想象一下，棒上的温度不仅仅是一个数字，而是沿其长度变化的模式。最初，加热端非常热，远端很凉。傅里叶提出，这种温度模式可以被看作是一系列更简单的波。通过叠加这些曲线，三角函数，可以得到一个非常准确的函数图，显示温度是如何从一端到另一端真正变化的。
使用的项越多，表示就越准确，对吗？
确实如此，随着更多项的添加，总和包括更多的频率成分，使其能够更好地近似原始函数或形状。一个常用来说明这一概念的例子是使用傅里叶级数来近似方波（square wave）。
方波是一个在两个值之间交替的函数，它在两个固定值之间迅速切换，这种切换几乎是瞬时完成的。方波的傅里叶级数如下所示：
这里n只取奇数值1、3、5等，反映了方波是一个奇函数。仅用第一个项进行近似时，近似非常粗糙，类似于单个正弦波。
添加接下来的两个项后，近似开始看起来更像方波，顶部和底部更平。
随着添加更多项，近似越来越能够捕捉到方波的尖锐过渡，顶部和底部的段变得更平，从-1到1的过渡变得更陡峭，更接近于真正方波的理想垂直跳跃。
理解这一点非常有趣，但这并不是全部。
傅里叶级数仅限于周期函数或在有限区间上定义的函数，因此我们发展了傅里叶变换（Fourier Transform）。它定义如下：
其中f(t)是被变换的函数，F(ω)是变换的结果，显示原始函数中每个频率ω的成分。傅里叶提供了一些数学证明来支持他的观点，但他并没有证明这些级数在所有条件下总是收敛到原始函数的方式是严格的。
于是，德国数学家，约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·迪里赫（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）在19世纪初接受了这一挑战。迪里赫建立了现在被称为迪里赫条件（Dirichlet's Conditions）的条件，帮助确保这些傅里叶级数的收敛。这些条件包括：
周期性——函数必须是周期的，即它在规律间隔中重复其值，就像级数中使用的三角函数一样；
有限的不连续性——函数在任一周期内应该只有有限的不连续性（跳跃、断裂等），过多的不连续性可能会使函数过于混乱，无法使傅里叶级数收敛；
有限的极值——函数在任一周期内必须有有限的最大值和最小值，这个条件确保函数不会振动过大；
有界变化——函数在一个周期内不得无限快地振荡，并且必须具有有界变化。
建立这些条件使傅里叶级数在各个领域的使用更可靠、更可预测。但他们必须了解这些级数在不同条件下的限制和行为。
因此，收敛和求和技术的出现很重要。有许多这样的技术，这里没有时间讨论所有，让我们只关注一个，切萨罗求和。切萨罗求和考虑了不连续点附近或级数收敛缓慢的点。它不是直接考虑总和，而是考虑到给定点为止所有部分和的平均值。
如果S_N(f)表示函数f的傅里叶级数的第n个部分和，切萨罗求和由以下给出：
直接求和方波的傅里叶级数，尤其是在不连续性附近，会导致超调（overshoot）。
使用塞萨罗求和，平均部分和，从而减弱超调，级数更平滑地收敛到函数，即使在不连续点附近。在声音中，例如，它确保转换信号更平滑，更能代表真实的底层现象，提高了分析的准确性和重建信号的质量。
但不连续性一定是一个问题，对吧？是的，乔治·康托尔是一位德国数学家，他通过创立集合论（Set Theory）在这方面进行了革命。
集合论是数学逻辑的一个分支，研究集合，即对象的集合。这些对象可以是任何东西，比如数字、符号、点等。乔治·康托尔提出了第一个严谨的集合定义，还阐明了如何对集合进行系统的操作。想象一个上下翻转的灯的开关，比如上（1）代表灯亮，下（0）代表灯灭。这种模式重复开、关、开、关等。在傅里叶级数中，我们想用波或正弦和余弦来表示这种开关模式。
棘手的地方是，方波突然从零跳到一，然后再跳回来，这些跳跃称为不连续性。使用集合论，我们可以将所有这些跳跃点作为一组进行考虑。
集合论使我们能够评估在整个模式中，这些特殊点所占的比例有多大。令人惊讶的是，尽管在整个重复模式中存在许多跳跃点，这些点在数学上几乎不占任何实际的空间，因此它们的测度被认为是零。这意味着从总体的测度或长度来看，这些跳跃点几乎可以忽略不计。
那么最后的进步是什么？一个名为希尔伯特空间的空间，以大卫·希尔伯特的名字命名，可以被视为欧几里得空间的无限维版本，其中概念如正交性、范数（或距离）和投影在数学上是严谨的，并且有意义。希尔伯特空间为研究傅里叶级数提供了一个自然的环境，因为它允许将函数视为向量。
这种观点至关重要，因为它允许将线性代数技术应用于函数分析中的问题。在希尔伯特空间中，正交性和完备性是至关重要的。用于傅里叶级数的函数sin（nx）和cos（nx）在通过积分在一个区间内定义的内积中彼此正交，
这种正交性是确保傅里叶级数在L^2空间——通常表示为平方可积函数空间——中收敛的关键属性。
L^2空间的完备性保证了每一个柯西函数序列都有一个极限存在于该空间中。
柯西函数序列用于描述一个序列中的元素随序列进行逐渐靠近某个极限或者彼此靠近的性质。
最后，从傅里叶级数到希尔伯特空间，我们经历了一段深入探索数学和物理世界的旅程。傅里叶级数不仅揭示了周期函数的内在结构，也启发了对信号和波形分析的深入理解，这些理解进一步推动了现代科学和工程的发展。随着数学家们对这些基本概念的探索逐渐深入，希尔伯特空间的引入标志了我们理解复杂波动现象的一个重要进步。在希尔伯特空间中，函数被视为向量，这种观点不仅加深了我们对波动本质的理解，也为处理更广泛的数学和物理问题提供了强大的工具。