高考数学复习知识点：平面
高考数学复习知识点：平面
平面是高考数学中的一个重要概念，它涉及到点、线、面之间的关系，是立体几何的基础。本文将从平面的概念、表示方法、基本性质等方面进行详细讲解，并探讨平面与直线的关系以及相关的判定和性质定理。
平面的基本概念
(1) 平面概念的理解
直观的理解：桌面、黑板面、平静的水面等等都给人以平面的直观的印象，但它们都不是平面，而仅仅是平面的一部分．
抽象的理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面没有厚薄．
(2) 平面的表示法
① 图形表示法：通常用平行四边形来表示平面，有时根据实际需要，也用其他的平面图形来表示平面．
② 字母表示：常用等希腊字母表示平面．
(3) 涉及本部分内容的符号表示有：
① 点A在直线l内，记作A∈l；
② 点A不在直线l内，记作A∉l；
③ 点A在平面α内，记作A∈α；
④ 点A不在平面α内，记作A∉α；
⑤ 直线l在平面α内，记作l⊂α；
⑥ 直线l不在平面α内，记作l⊄α；
注意：符号的使用与集合中这四个符号的使用的区别与联系．
(4) 平面的基本性质
公理1：如果一条直线的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．
符号表示为：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α。
注意：如果直线上所有的点都在一个平面内，我们也说这条直线在这个平面内，或者称平面经过这条直线．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
符号表示为：直线AB存在唯一的平面α，使得A∈α，B∈α。
注意：“有且只有”的含义是：“有”表示存在，“只有”表示唯一，不能用“只有”来代替．此公理又可表示为：不共线的三点确定一个平面。
平面的相关知识点
平面的定义
平面 (数学名词)
在空间中，到两点距离相同的点的轨迹。在解析几何中，平面公式为A*(x-x0)+B*(y-y0)+C*(z-z0)=0，其定义为与固定点(x0,y0,z0)的连线垂直于固定方向(A,B,C)的所有的点的集合。这两种定义在数学上是一致的。
平面的画法
水平的平面可以画成一个平行四边形，锐角画成45°，钝角画成135°，横边是邻边的2倍。
具体画法可以根据题意，方便做题就可以
平面表示方法
(1) 用希腊字母α、β、γ写在一个角上。如平面α、平面β。
(2) 用四个顶点的字母或者对角线的字母。如平面ABCD、平面AC。
平面与直线的关系
- 点A在平面α内，记作A∈α；点B不在平面α内，记作B∉α。
- 点P在直线l上，记作P∈l；点P在直线l外，记作P∉l。
- 如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者平面α经过直线l，记作l⊂α，否则说直线l在平面α外，记作l⊄α。
- 平面α、β相交于直线l，记作α∩β=l。
- 直线a在平面α内 记作 a⊂α
公理与推论
公理
公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
公理二：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理三：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论
推论一：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
推论二：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论三：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
平面的判定与性质
平面相交的判定
如果两个平面有一个公共点，就说这两个平面相交。
线面平行的判定
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
平面平行的判定
一、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
二、垂直于同一条直线的两个平面平行。
线面平行的性质
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线平行。
平面平行的性质
一、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
二、如果一条直线在一个平面内，那么与此平面平行的平面与该直线平行。
线面垂直的判定
一、一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
二、如果一条直线垂直于一个平面，那么与这条直线平行的直线垂直于该平面。
平面垂直的判定
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
线面垂直的性质
一、垂直于同一个平面的两条直线平行。
二、若直线垂直于平面，则直线垂直于这个平面的所有直线。
三、平行于同一条直线的两条直线互相平行。
平面垂直的性质
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。