线性映射详解：从定义到矩阵相似
线性映射详解：从定义到矩阵相似
线性映射是线性代数中的核心概念之一，它描述了线性空间之间的映射关系。本文将从线性映射的定义出发，详细介绍其矩阵表示、核空间与像空间、坐标变换、过渡矩阵以及矩阵相似等重要概念，帮助读者深入理解线性映射的本质。
研究线性映射是研究线性空间之间的映射。线性映射可以表示为矩阵的形式，所以在线性映射中矩阵中的大量概念都可以找到对应关系。
线性映射与线性变换
设
和
是域
上的两个线性空间，
是
到
的一个映射。
如果对于
中任意的向量
和
，域
中任意的标量
和
，有：
称
是
到
的一个线性映射。如果
，则称
是
上的一个线性变换。
例如，恒等变换
保持空间不变，零变换
将空间映射至零空间。
可以记
为所有
到
的线性映射构成的集合。对于全体线性变换
，也记为
。
性质
- 线性映射将零向量映射到零向量。
- 线性映射保持线性运算形式不变，即，线性运算的线性映射，等于线性映射的线性运算。
- 线性映射保持线性相关性，即，映射前线性相关，映射后也线性相关。
但是线性映射不保持线性无关性。映射前线性无关，映射后不一定线性无关。
线性映射的矩阵表示
设
的维数是
，
的一组基为
，
的维数是
，
的一组基为
，
是
到
的一个线性映射。
将每个
经由
映射后的向量用
表示：
采用矩阵记法：
称矩阵
为线性映射
在这两组基下的矩阵表示。
线性映射的核空间与像空间
这里的核空间与像空间是站在线性映射的视角下叙述的。借助矩阵表示可以看出，线性映射的核空间与像空间与矩阵的核空间与像空间是一致的。
设
是由空间
到空间
的线性映射，令：
易验证
为
的子空间，
为
的子空间，称
及
为
的核空间和像空间，并称
的维数为
的 零度 或 亏，
的维数为
的 秩。
定理：设
是由空间
到空间
的线性映射，
的维数有限，则
及
均为有限维，且有：
即
的亏加秩等于其定义域
的维数。
线性变换的矩阵表示
设
的维数是
，
的一组基为
，
是
上的一个线性变换，则有：
采用矩阵记法：
称矩阵
为线性变换
在这组基下的矩阵表示。
由空间结构和
的线性性质，
由
完全确定，故由
唯一确定一个矩阵
。
定理：设
的维数是
，
为
的一组基，任取
阶方阵
，有且仅有一个从
到
的线性变换
，使得
的矩阵恰好为
。
推论：在
和全体
阶方阵之间存在一一对应关系。
例如：零变换对应零矩阵，恒等变换对应单位矩阵。
线性变换构成的空间
定理：
也可以构成线性空间，引入
中的运算：对于
中任意的
与
，
中任意的
，域
中任意的
，有：
容易验证
是
上的一个线性空间，即线性变换空间。
对于
中的线性变换
与
，定义
与
的乘积
为：
可以验证
也是
中的线性变换，并且线性变换的乘积满足结合律，而不满足交换律，与矩阵的乘积类似。
对于
中的线性变换
，如果
中的线性变换
，使得对于
中任意的向量
，有：
则称
是
的逆变换，记作：
且有：
定理：设 的维数为
， 为
的一组基，在这组基下线性变换
的矩阵为
， 的矩阵为 ，则：
- 线性变换
的矩阵为 - 线性变换的数乘
的矩阵为 - 线性变换的乘积
的矩阵为 - 线性变换
的逆变换若存在，矩阵为
坐标
设
个向量
是
维空间
的一个基，对于 中任意的向量 ，令 为：
称列向量：
为向量
在基
下的 坐标。
可见，坐标是由域中的标量构成的列向量，与阿贝尔群中的向量应当进行区分。
坐标变换公式
设
的维数为
，
中有变换
，在基
下的矩阵为
。设：
且有：
则有：
空间
中的列向量点本质上都是「基乘坐标」的形式。空间
中的列向量点
，本身用了单位阵 作为基，即 。
只有同一个基，基不动的时候，单纯的线性变换
，就是坐标左乘普通矩阵。
把线性变换
看成对于空间
的一个观测滤镜。线性变换
的作用对象是空间
，将空间
扭曲了。加了滤镜之后，点本身的位置没有变。
这个定理也说明，对于列向量基的线性变换
，等价于对于基右乘一个过渡矩阵。
于是，在不同的基之间，坐标关系是左乘过渡矩阵的逆矩阵。
过渡矩阵
设
个向量
与
个向量
是空间
的两组基。对于
，令每个向量
在基
下的坐标为：
于是 个向量 排成等式左边的矩阵， 个坐标排成等式右边的矩阵 ：
矩阵 称为由基 到基 的 过渡矩阵，也称为变换矩阵。
显然过渡矩阵可逆。对于上式，由基 到基 的过渡矩阵为 。
可见，过渡矩阵是由域中的标量构成的矩阵，并非阿贝尔群中的向量排成的矩阵，应当予以区分。
设 个向量 与 个向量 是空间 的两组基。对于空间 中的同一个向量 ，有：
代入上文的
由唯一性，得到：
或者
这是纯粹坐标之间的变换，坐标变换公式均在标量域中。由于前文做了区分，线性空间与阿贝尔群中的向量是「抽象的向量」，而坐标与过渡矩阵的元素均在标量域中，视为「具体的向量」，两种向量应当视为「不同的东西」。
矩阵可以对整个空间，即全体坐标进行变换，列向量 作为坐标遍布整个空间。
单位矩阵 由单位向量构成。矩阵 会将单位矩阵 变换到矩阵 的每个列向量，即将单位向量变换到矩阵 的每个列向量。因此左乘矩阵 ，也可以视为将空间做了这样的变换。
向量左乘矩阵，也可以视为坐标左乘向量组。用坐标的观点看待就是：
同一个列向量 ，在「正常」的空间，单位矩阵 代表的空间下，坐标为 ，在变换后新的空间里，坐标将记为 。这样一来，矩阵 不仅是正常空间下的一组基，也是从向量组 到向量组 的过渡矩阵。
线性变换 会将一个基映射为另一个基，于是坐标也被映射为另一个坐标。
如果将基 映射到 对应的线性变换 的过渡矩阵是 ，那么对应的基矩阵就有 。
于是坐标的关系恰好反过来。假设线性变换 映射后的坐标是 ，即加滤镜后观察到坐标 ，于是点在 的表示就是 。还原的办法就是用过渡矩阵，把点在 的表示写成 。于是坐标变换为左乘过渡矩阵的逆矩阵的看法就明显了。
线性变换与矩阵相似
在空间 中的一个线性变换 对于空间 的基 的关系：
线性变换 作用于基 ，将基 映射到了 ，相当于在基 右乘一个 ，即 。
矩阵相似考虑的问题是：同一个线性变换 ，在基 的空间 中描述为矩阵 ，在基 的空间 中描述为矩阵 。
如果过渡矩阵为 ，即 ，那么两个描述 和
之间有怎样的联系。
由于是同一个变换 ，可以发现一个事实，变换前后的过渡矩阵关系始终成立，即：
线性变换 在基 视角下仍旧为右乘，基 转化到基 再右乘一个 ，变换前后保持过渡矩阵 的关系：
于是问题得到解决：
定理：设 中有变换 ，则 在不同基下的矩阵 相似。
对于方阵 和方阵 ，如果存在可逆矩阵 使得 ，则 和 相似。
矩阵相似保持秩不变，因此矩阵相似可以推出矩阵等价。但是，等价的两个矩阵未必相似。
由于矩阵相似与形状密切相关，因此矩阵相似和向量组等价、方程组同解之间没有关系。
回过头来，矩阵相似的解释就是 4 个等式：、、、。
参考资料
- 【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集 P13 09 - 基变换