过采样系列一：采样定理与过采样率

过采样系列一：采样定理与过采样率

数字世界是现实世界的镜像，模数转换器ADC则是连接这两个世界的大门。采样速率是ADC的重要参数之一，围绕采样速率，有一条著名的定理：奈奎斯特采样定理。

采样定理：
只要采样频率大于或等于有效信号最高频率的两倍，采样值就可以包含原始信号的所有信息，被采样的信号就可以不失真地还原成原始信号。

采样定理是美国电信工程师H.奈奎斯特在1928年提出的，在1948年，信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。

为方便介绍，我们统称之为采样定理。

在详细介绍采样定理之前，我们一定要知道一个非常有趣的频率现象：‘任何模拟信号，在离散化后，在频率上都会按照采样率周期性延拓。’

先抛个问题：
以100Hz的采样率采集一段模拟信号，得到了100个采样点，能够重构出原始的模拟信号，得到模拟信号的频率信息吗？

理论来讲是不可能的，模拟信号一旦经过采样离散化后，其波形就已经失真了，无法完美重构原始模拟信号。

其中一个重要原因是，无法区分离散后信号的频率信息。

从时域和频域两个方向分别理解：‘无法区分离散后信号的频率信息’这句话的意义。

时域解释

下图蓝色点是采集后的一段离散序列，无法知道采样的原始信号是红色曲线还是蓝色点直连重构的曲线。

通常情况下，重构采集后的离散点方法是直接连接相邻采样点。

基于这样的方法，直接重构后的最低频率为fa，而理论上可以提取出（fa+n*fs）Hz的信号（n为≥0的整数，fa为原始信号频率，fs为采样频率）。

比如一段频率为fa=10Hz的模拟信号，经过采样频率fs=100Hz后，离散后的信号可以重构为10Hz、110Hz、210Hz。。。。。这个特性就是信号频率的模糊性。

频域解释

一段频率为带限为fa的模拟信号，经过采样频率fs采样后，其在频谱上的波形会按照fs周期性复现，波形见下图。

这是一个非常有趣的现象，可以看到时域的结果和频域的分析是统一的。

而这里面就隐含着著名的采样定理。

同样的，从时域和频域分别看采样定理的理解。

时域分析

在时域的角度下，当一个周期采集点数少于2个时，直连采样点重构信号，则频率就错了；而当一个周期采集两个采样点时，采用直连的重构方式，起码可以得到原始信号的频率信息。

频域解释

如下图所示，当fs<2fa时，周期性复现的带限信号，会有重叠的地方，这会导致失去原始带限信号的基本频率信息，俗称频谱混叠。

如上就可以提炼出采样定理的基本要义了。

采样定理与过采样率

上文中的fa是信号的带限（信号的最大频率范围），2fa是采样定理的基本要求；M2*fa中，M就是过采样率，过采样率是对‘采样定理的最低采样频率’而言的。

过采样率M每提高4倍，可以让ADC分辨率B提高1bit。举例如下：

过采样率分别为4、16、64，ADC分辨率B分别会提高1、2、3bit。这个后面会继续深入介绍。