机器学习中的数学基础：对数详解

机器学习中的数学基础：对数详解

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/IT_ORACLE/article/details/143700441

对数是数学中一种重要的运算，它与指数密切相关。对数的主要功能是将乘法和除法转换为加法和减法，从而简化复杂的计算。以下是对数的基本概念、性质和应用。

1. 对数的定义

对数是指数的反运算。如果 (a^b = c)，那么 b 被称为以 a 为底的 c 的对数，记作：(\log_a c = b)。

这里：

• a 是底数，a > 0 且 a≠1
• c 是对数的真数，c > 0
• b 是对数的值

2. 常用对数

常用的对数有两种：

• 自然对数：以 e（约等于 2.71828）为底的对数，记作 ln(x)。
• 常用对数：以 10 为底的对数，记作 log(x)。

3. 对数的性质

对数具有以下重要性质：

(1). 乘法法则

公式：(\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N)

推导：

1. 假设 (\log_b M = x) 和 (\log_b N = y)，则根据对数定义：(b^x = M) 和 (b^y = N)
2. 将两式相乘：(b^x \cdot b^y = MN)
3. 根据指数的性质 (b^{x+y} = MN)，可以写为：(b^{x+y} = MN)
4. 两边取以 b 为底的对数：(\log_b(b^{x+y}) = \log_b(MN))
5. 代入 (\log_b M = x) 和 (\log_b N = y)，得到：(\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N)

(2). 除法法则

公式：(\log_b(\frac{M}{N}) = \log_b M - \log_b N)

推导：

1. 假设 (\log_b M = x) 和 (\log_b N = y)，则根据对数定义：(b^x = M) 和 (b^y = N)
2. 将两式相除：(\frac{b^x}{b^y} = \frac{M}{N})
3. 根据指数的性质 (b^{x-y} = \frac{M}{N})，可以写为：(b^{x-y} = \frac{M}{N})
4. 两边取以 b 为底的对数：(\log_b(b^{x-y}) = \log_b(\frac{M}{N}))
5. 代入 (\log_b M = x) 和 (\log_b N = y)，得到：(\log_b(\frac{M}{N}) = \log_b M - \log_b N)

(3). 幂的法则

公式：(\log_b(M^y) = y \log_b M)

推导：

1. 假设 (\log_b M = x)，则根据对数定义：(b^x = M)
2. 将 x 提到 y 次方：(b^{xy} = M^y)
3. 根据指数的性质 (b^{xy} = M^y)，可以写为：(b^{xy} = M^y)
4. 两边取以 b 为底的对数：(\log_b(b^{xy}) = \log_b(M^y))
5. 代入 (\log_b M = x)，得到：(\log_b(M^y) = y \log_b M)

(4). 换底公式

公式：(\log_a M = \frac{\log_k M}{\log_k a}) (k 为新底数)

推导：

1. 假设 (\log_a M = x)，则根据对数定义：(a^x = M)
2. 两边取以 k 为底的对数：(\log_k(a^x) = \log_k M)
3. 根据对数与指数的性质，(\log_k(a^x) = x \log_k a)，可以写为：(x \log_k a = \log_k M)
4. 解出 M：(x = \frac{\log_k M}{\log_k a})
5. 代入 (\log_a M = x)，得到：(\log_a M = \frac{\log_k M}{\log_k a})

5. 对数的特征值

公式：(\log_a 1 = 0) 和 (\log_a a = 1)

证明：

1. (\log_a 1 = 0)：

• 根据对数定义，(a^0 = 1)。
• 在指数性质中，任何数的 0 次幂等于 1，即 (a^0 = 1)。
• 因此，(\log_a 1 = 0)。

2. (\log_a a = 1)：

• 根据对数定义，(a^1 = a)。
• 显然，(a^1 = a) 时成立。
• 因此，(\log_a a = 1)。

4. 对数的图像

对数函数的图像是定义在 x > 0 的单调递增函数，随着 x 的增大而增大，但其增长速度比线性函数慢。

对数函数的图像呈现出一个典型的弯曲形状，在数学上对数函数的常见形式为：(y = \log_b x)，其中 b 是对数的底数，常见的底数包括自然对数的底 e 和常用对数的底 10。对数函数在不同底数下的表现有一些差异，但总体形状相似。

对数函数图像的性质：

1. 定义域和值域：对于 (y = \log_b x)，定义域是 x > 0，也就是说，对数函数仅在正数上定义。值域则是所有实数 (\mathbb{R})。
2. 横截点：对数函数在 (1, 0) 处穿过 x 轴，即当 x = 1 时 y = 0，这是因为 (\log_b 1 = 0)（任何底数的 1 的对数都为 0）。
3. 单调递增性：当 b > 1 时，函数是单调递增的，即随着 x 增加，y 的值也增加，但增速越来越慢（例如 (y = \log_e x)）。相反，如果 0 < b < 1，对数函数会变成递减函数。
4. 无界性：对数函数在正无穷趋近无穷，在接近 0 时趋向负无穷。
5. 对称性：对数函数没有对称性，但它是幂函数的逆函数（如 (y = b^x) 与 (y = \log_b x) 互为逆函数）。

常见对数函数的图像：

• 自然对数函数 (y = \ln x)：底数为 e，图像呈现典型的对数形状，过点 (1, 0) 且单调递增。
• 常用对数函数 (y = \log_{10} x)：底数为 10，形状类似于自然对数但稍微平缓。

绘制对数图像的 Python 示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义 x 范围
x = np.linspace(0.01, 10, 400)

# 计算对数函数值
y_ln = np.log(x)         # 自然对数
y_log10 = np.log10(x)     # 常用对数
y_log2 = np.log2(x)       # 底数为2的对数

# 绘制图像
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y_ln, label=r"$y = \ln(x)$", color="blue")
plt.plot(x, y_log10, label=r"$y = \log_{10}(x)$", color="green")
plt.plot(x, y_log2, label=r"$y = \log_{2}(x)$", color="red")

# 添加图例和标签
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.title("对数函数的图像")
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(1, color='black',linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

5. 对数的应用

对数在许多领域有广泛的应用，包括：

• 科学：对数用于表示数量级，特别是在地震强度（里氏震级）和声压级（分贝）等方面。
• 金融：在计算复利、折现、估计投资回报时使用对数。
• 信息理论：用于衡量信息量，香农熵（Shannon Entropy）等概念中使用对数。
  
• 统计学：在数据变换、回归分析和概率分布中，常常使用对数来简化模型。

6. 对数的历史背景

对数的概念最早由瑞士数学家约翰·纳皮尔（John Napier）在 17 世纪初提出，目的是为了简化复杂的乘法和除法运算。后来，随着数学的发展，对数的应用范围不断扩大，成为现代数学和科学中不可或缺的工具。

结论

对数是一种非常重要的数学工具，它将复杂的乘法和除法运算转化为更简单的加法和减法运算，广泛应用于科学、工程、金融等领域。掌握对数的性质和应用对于理解更复杂的数学概念和解决实际问题非常重要。