判断一个数是否为质数（素数）的4种方法
判断一个数是否为质数（素数）的4种方法
质数判断是计算机科学和数学领域中的一个基础问题，广泛应用于密码学、数据安全和算法设计等领域。本文将介绍四种判断一个数是否为质数的方法，从最直观的试除法到基于数论性质的优化算法，逐步深入，帮助读者理解质数判断的核心思想和实现技巧。
什么是质数？
首先来看质数的概念：
质数（Prime number），又称素数，指在大于1的自然数中，除了1和该数自身外，无法被其他自然数整除的数。（也可定义为只有1与该数本身两个正因数的数）
图1 数字12不是质数，而数字11是质数
如上图所示，数字12可以将每4个分成一组，一共3组；而数字11将每4个、每5个、每3个分成一组都无法全部分完，而有剩余，因此将数字11称为质数。
如何判断是否为质数？
质数的特点如下：一个自然数（如1、2、3、4、5、6等）若恰有两个正约数（1及此数本身），则称之为质数。
方法1
根据质数的约数只有1和本身这一特点，可以首先想到最直观的方法。第一种方法就是判断一个数是否能被比它小的数整除。
方法1的时间复杂度是O(n)。
public static boolean isPrime(int n){
//n<=3时，质数有2和3
if (n <= 3) {
return n > 1;
}
//当n>3时，质数无法被比它小的数整除
for(int i = 2; i < n; i++){
if (n % i == 0) {
return false;
}
}
return true;
}
方法2
当一个数不是质数时，必定存在两个约数，一个大于等于sqrt(n)，另一个小于sqrt(n)。利用这种特性，可以对方法1进行改进，只判断数n能否被小于sqrt(n)的数整除。
方法2的时间复杂度是O(sqrt(n))。
图2 筛选判断集，只选择小于等于sqrt(n)的集合
public static boolean isPrime(int n) {
if (n <= 3) {
return n > 1;
}
//判断一个数能否被小于sqrt(n)的数整除
int sqrt = (int)Math.sqrt(n);
for (int i = 2; i <= sqrt; i++) {
if(n % i == 0) {
return false;
}
}
return true;
}
方法3
任一偶数一定能分解为2和其他偶数/奇数的积，因此一个数不能被2整除，那么这个数一定不能被其他偶数整除。利用这个特点，可以对方法2进行改进，判断数n能否被小于sqrt(n)的奇数整除。
方法3的时间复杂度是O(sqrt(n)/2)。
图3 进一步筛选判断集，只选择小于等于sqrt(n)的奇数
public static boolean isPrime(int n) {
if (n <= 3) {
return n > 1;
}
//只需判断一个数能否被小于sqrt(n)的奇数整除
int sqrt = (int)Math.sqrt(n);
for (int i = 3; i <= sqrt; i += 2) {
if(n % 2 == 0 || n % i == 0) {
return false;
}
}
return true;
}
方法4
质数的分布具有特点，经过证明可以得到，（大于等于5的）质数一定和6的倍数相邻，一定是6x-1或6x-1。利用这种特性。可以对整数进行筛选，只判断那些是6x-1或6x-1的整数是否为质数。
图4 筛选数据集，只选择6的倍数相邻的数
证明过程如下：
令x≥1，将大于等于5的自然数表示如下： ······6x-1，6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4······（相邻6个数为一组）
在以上的数字中，6x、6x+2和6x+4是偶数，一定不是质数；6x+3可以分解为3(2x+1)，不是质数，因此质数只能是6x-1和6x+1。
public static boolean isPrime(int n) {
if (n <= 3) {
return n > 1;
}
// 只有6x-1和6x+1的数才有可能是质数
if (n % 6 != 1 && n % 6 != 5) {
return false;
}
// 判断这些数能否被小于sqrt(n)的奇数整除
int sqrt = (int) Math.sqrt(n);
for (int i = 5; i <= sqrt; i += 6) {
if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0) {
return false;
}
}
return true;
}