Lanchester战斗模型：常微分方程在军事领域的应用
Lanchester战斗模型：常微分方程在军事领域的应用
Lanchester战斗模型是数学建模在军事领域的重要应用之一。该模型通过建立常微分方程来描述战斗过程中的兵力变化，能够帮助分析和预测战役结局。本文将从常规战和游击战两个方面，详细探讨Lanchester战斗模型的应用。
在第一次世界大战中，甲、乙两方战役的胜负，往往由双方兵力多少及战斗力强弱两个因素决定，其中，兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加；战斗力与射击次数及命中率有关。请按照正规战争和游击战争两类情况应用常微分方程进行建模，分析并预测战役结局。
根据Lanchester战斗模型，记甲、乙两方兵力分别为关于时间的函数$x(t)$和$y(t)$，并且连续可导。显然有“战斗力的变化率＝后勤补给率－自然损失率（非战斗减员）－对方的杀伤率（战斗减员）”。
常规战
常规战模型及其解
讨论常规战下的模型
$$
\begin{cases}
\frac{dx}{dt} = -ax - by + p \
\frac{dy}{dt} = -ey - cx + q
\end{cases}
$$
其中$a,e$分别为甲和乙的自然损失率，其中$b,c$分别为乙和甲的杀伤率，$P(t),Q(t)$分别为甲和乙的后勤补给率。为简化，不妨假设$P(t)=p,Q(t)=q$分别为一常数。
下面简要描述一下求解以下常微分非自治线性方程组的过程：
先求解对应的齐次方程组
$$
\begin{cases}
\frac{dx}{dt} = -ax - by \
\frac{dy}{dt} = -ey - cx
\end{cases}
$$
计算特征方程：
$$
\begin{vmatrix}
-a-\lambda & -b \
-c & -e-\lambda
\end{vmatrix} = 0
$$
展开行列式，得到特征方程：
$$
\lambda^2 + (a+e)\lambda + (ae-bc) = 0
$$
使用求根公式求解二次方程：
$$
\lambda_{1,2} = \frac{-(a+e) \pm \sqrt{(a+e)^2 - 4(ae-bc)}}{2}
$$
根据特征根，齐次方程组的通解为：
$$
\begin{pmatrix}
x(t) \
y(t)
\end{pmatrix} = C_1 e^{\lambda_1 t} \begin{pmatrix}
b \
\lambda_1 + a
\end{pmatrix} + C_2 e^{\lambda_2 t} \begin{pmatrix}
b \
\lambda_2 + a
\end{pmatrix}
$$
其中$C_1$和$C_2$是任意常数。
接着寻找非齐次方程组的特解，假设特解的形式为常数向量：
$$
\begin{pmatrix}
x_p \
y_p
\end{pmatrix}
$$
代入非齐次方程组，得到：
$$
\begin{cases}
-ax_p - by_p + p = 0 \
-ey_p - cx_p + q = 0
\end{cases}
$$
解这个线性方程组，得到特解：
$$
\begin{pmatrix}
x_p \
y_p
\end{pmatrix} = \frac{1}{ae-bc} \begin{pmatrix}
bp - cq \
cp - aq
\end{pmatrix}
$$
构造非齐次方程组的通解，非齐次方程组的通解是齐次解与特解之和：
$$
\begin{pmatrix}
x(t) \
y(t)
\end{pmatrix} = C_1 e^{\lambda_1 t} \begin{pmatrix}
b \
\lambda_1 + a
\end{pmatrix} + C_2 e^{\lambda_2 t} \begin{pmatrix}
b \
\lambda_2 + a
\end{pmatrix} + \frac{1}{ae-bc} \begin{pmatrix}
bp - cq \
cp - aq
\end{pmatrix}
$$
因此，原方程组的通解为：
$$
\begin{pmatrix}
x(t) \
y(t)
\end{pmatrix} = C_1 e^{\lambda_1 t} \begin{pmatrix}
b \
\lambda_1 + a
\end{pmatrix} + C_2 e^{\lambda_2 t} \begin{pmatrix}
b \
\lambda_2 + a
\end{pmatrix} + \frac{1}{ae-bc} \begin{pmatrix}
bp - cq \
cp - aq
\end{pmatrix}
$$
常规战的平方率
为分析射击次数及命中率对战局的影响，采取简化模型
$$
\begin{cases}
\frac{dx}{dt} = -by \
\frac{dy}{dt} = -cx
\end{cases}
$$
两式相除，得
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{c}{b} \frac{y}{x}
$$
得
$$
\frac{dy}{y} = \frac{c}{b} \frac{dx}{x}
$$
积分得
$$
\ln y = \frac{c}{b} \ln x + C
$$
即
$$
y = K x^{\frac{c}{b}}
$$
记射击率为$r$，命中率为$p$，则有
$$
b = rp, c = rq
$$
综合所有因素考虑，可以得到结论：常规战胜负取决于开战前力量(人数)对比，且此比值平方放大，具体如图：
游击战
游击战模型
其中$a,e$分别为甲和乙的自然损失率，其中$g,h$分别为乙和甲的杀伤率，$P(t),Q(t)$分别为甲和乙的后勤补给率。
与常规战模型比较，最显著的特征是游击战的战斗伤亡率和自身部队战斗力正相关。
游击战的线性率
同样，只考虑战斗减员，简化模型为
$$
\begin{cases}
\frac{dx}{dt} = -gx \
\frac{dy}{dt} = -hy
\end{cases}
$$
相除，交叉相乘得
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{h}{g} \frac{y}{x}
$$
得
$$
\frac{dy}{y} = \frac{h}{g} \frac{dx}{x}
$$
积分得
$$
\ln y = \frac{h}{g} \ln x + C
$$
即
$$
y = K x^{\frac{h}{g}}
$$
进一步有
$$
\frac{h}{g} = \frac{r_2 A_2}{r_1 A_1}
$$
其中
$$
r_1, r_2
$$
为射击率、
$$
A_1
$$
一次射击的有效面积、
$$
A_2
$$
为游击队员的活动面积，即：
$$
\frac{h}{g} = \frac{r_2 A_2}{r_1 A_1}
$$
结论：战前力量对比与队员活动面积对比同样重要，如图：
其他：游击队VS常规部队
游击队VS常规部队模型
其中$a,e$分别为甲和乙的自然损失率，其中$g,c$分别为乙和甲的杀伤率，$P(t),Q(t)$分别为甲和乙的后勤补给率。
游击队VS常规部队的抛物律
简化模型为
$$
\begin{cases}
\frac{dx}{dt} = -gx \
\frac{dy}{dt} = -cy
\end{cases}
$$
同理推得
$$
\frac{h}{g} = \frac{r_2 A_2}{r_1 A_1}
$$
其中
$$
r_1, r_2
$$
为射击率、
$$
A_1
$$
一次射击的有效面积、
$$
A_2
$$
为游击队员的活动面积，即：
$$
\frac{h}{g} = \frac{r_2 A_2}{r_1 A_1}
$$
结论：该模型适合以弱胜强。如图所示：
总结
常规战胜负取决于开战前力量(人数)对比，且此比值平方放大，具有集中优势兵力(如三大战役)；游击战战前力量对比与队员活动面积对比同样重要；当游击队与常规部队交战时，更有利于以弱胜强。