函数的定义域、值域和上域

函数的定义域、值域和上域

函数是数学中的一个基本概念，而定义域、值域和上域则是理解函数的关键。本文将通过简单易懂的语言和具体示例，帮助读者掌握这些重要概念。

函数的基本概念

函数是将输入值映射到输出值的关系。例如，一棵树每年长高20厘米，树的高度与年龄之间的关系可以用函数h表示：

h(年龄) = 年龄 × 20

如果年龄是10年，那么高度就是h(10) = 200厘米。可以说"10 → 200"。

但是，并不是所有的值都能作为输入！函数可能在给定错误的值（如负数年龄）时无法工作，了解可能的输出值（如总是正数）也很有帮助。因此，我们需要说明哪些值可以输入和输出。

集合的概念

集合是一组事物的集合，比如数字。这里有一些例子：

• 偶数集合：{...，-4，-2，0，2，4，...}
• 奇数集合：{...，-3，-1，1，3，...}
• 素数集合：{2，3，5，7，11，13，17，...}
• 小于10的3的正倍数：{3，6，9}

函数在本质上是用集合来定义的：

函数将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一元素相关联（可能是同一个集合）。

定义域、上域和值域

函数的输入和输出有一些专门的术语：

• 可以输入函数的值称为定义域
• 可能输出的值称为上域
• 实际输出的值称为值域

例如：

• 集合"A"是定义域
• 集合"B"是上域
• 被指向的B中的元素（函数实际产生的值）是值域，也称为像

在这个例子中：

• 定义域：{1，2，3，4}
• 上域：{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}
• 值域：{3，5，7，9}

定义域的重要性

实际上，输出（值域）取决于输入（定义域）...但是我们可以定义定义域！

事实上，定义域是函数的一个本质部分。改变定义域，我们就得到了一个不同的函数。

例如：

• 函数f(x) = x²的定义域（输入）可以是计数数{1,2,3,...}，那么值域将是集合{1,4,9,...}
• 另一个函数g(x) = x²的定义域可以是整数{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}，在这种情况下，值域是集合{0,1,4,9,...}

即使两个函数都接受输入并将其平方，它们的输入集不同，因此产生不同的输出集。在这种情况下，g(x)的值域还包括0。

此外，它们会有不同的性质。例如，f(x)总是给出唯一的答案，但g(x)可以用两个不同的输入给出相同的答案（如g(-2)=4，以及g(2)=4）。

因此，定义域是函数的一个本质部分。

函数都有定义域吗？

是的，但在更简单的数学中我们从未注意到这一点，因为定义域是假设的：

• 通常假设为"所有可行的数"
• 或者如果我们研究整数，那么定义域假设为整数
• 等等

但在更高级的工作中，我们需要更加小心！

上域与值域的区别

上域和值域都在输出端，但有微妙的区别。

上域是可能输出的值的集合。上域实际上是函数定义的一部分。

而值域是实际输出的值的集合。

例如：我们可以定义一个函数f(x)=2x，其定义域和上域都是整数（因为我们这样说）。但通过思考我们可以看到，值域（实际输出值）只是偶数。

所以上域是整数（我们这样定义的），但值域是偶数。

值域是上域的一个子集。

为什么需要两者？ 好吧，有时我们不知道确切的值域（因为函数可能很复杂或不完全已知），但我们知道它所在的集合（如整数或实数）。因此，我们定义上域并继续进行。

上域的重要性

让我问你一个问题：平方根是函数吗？

如果我们将上域（可能的输出）设为实数集合，那么平方根就不是函数！这是个惊喜吗？

原因是对于一个输入可能有两个答案，例如f(9) = 3或-3

函数必须是单值的。它不能对相同的输入给出两个或多个结果。所以"f(9) = 3或-3"是不对的！

但是，通过简单地限制上域为非负实数，可以修复这个问题。

事实上，根号（如√x）总是表示主（正）平方根，所以√x是一个函数，因为它的上域是正确的。

所以，我们选择的上域实际上会影响某物是否是函数。

符号表示

数学家不喜欢写很多文字，当几个符号就能表达时。所以有方法表示"定义域是"、"上域是"等。

这是我知道的最简洁的方式：

这表示函数"f"的定义域是"N"（自然数），上域也是"N"。

或者表示函数"f"接收"x"并返回"x²"

还有：

Dom(f)或Dom f表示"函数f的定义域"
Ran(f)或Ran f表示"函数f的值域"

如何指定定义域和值域

学习如何使用集合构建符号指定定义域和值域。