勾股定理学习笔记

勾股定理学习笔记

第一章 勾股定理

1.1 勾股定理的证明

• 对于勾股定理，有约(500)种证明方法。常见的有数格子（见课本勾股数）、赵爽弦图（两种）、加菲尔德证法（总统图）、毕达哥拉斯证法、华蘅芳证法、百牛定理证法、商高定理证法、商高证法、刘徽证法、绉元智证法等。这里只列出常见的几种方法。

1.1.1 赵爽弦图

• 赵爽弦图有两种作法，具体如下：
  1.构建四个全等直角三角形，使得三角形的斜边为(c), 两条直角边分别为(a)，(b)。以斜边(c)的长度为边长，构建一个正方形。此时内部的小正方形边长为(a-b)。如图(1-1)：
• 根据上图我们不难发现，用两种方法表示出大正方形的面积并列出方程，就可以证明勾股定理。
• (c^2=4\times \frac{1}{2}ab+(a-b)^2=2ab+a^2-2ab+b^2=a^2+b^2)
  2.同理，构建四个全等直角三角形，使得三角形的斜边为(c), 两条直角边分别为(a)，(b)。以直角边(a)，(b)的长度为边长，构建一个正方形。此时内部的小正方形边长为(c)。如图(1-2)：
• 同理再表示出大长方形的面积：
• ((a+b)^2 =4\times \frac{1}{2}ab+c^2)
  化简得(a^2+b^2=c^2)

1.1.2 加菲尔德证法（总统图）

• 作法：构建两个全等三角形，使得三角形的斜边为(c), 两条直角边分别为(a)，(b)。以斜边(c)的长度为边长，构建一个等腰直角三角形，拼接三个图形，使其成为一个梯形，如图(1-3):
• 据图可知，用两种方法表示出梯形的面积并列出方程，就可以证明勾股定理。
• (\frac{1}{2}(a+b)^2=\frac{1}{2}c^2+2 \times \frac{1}{2}ab)
  化简得(a^2+b^2=c^2)。

以上便是比较常见的证明方法，当然还有比较冷门的：

2.1.3 其他证明方法

• 向常春勾股定理证明方法：
• 如图(1-4),分别表示出四边形(ABDC), 梯形(AEDC)和(\triangle EBD)的面积，列出方程即可。
  (S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}=\frac1 2AD\cdot BF+\frac1 2AD\cdot CF=\frac12AD(BF+CF)=\frac12AD\cdot BC=\frac 12c^2)
  (S_{梯形AEDC}=\frac12(b+a)\ b),(S_{\triangle EBD}=\frac1 2 (a-b)\ a),(S_{四边形ABCD}=S_{梯形AEDC}+S_{\triangle EBD});
  (\therefore \frac 12c^2=\frac12(b+a)\ b+\frac1 2 (a-b)\ a)
  (\therefore \frac 12c^2=\frac 12b^2+\frac12 ab+\frac 12a^2-\frac12 ab)
  (\therefore a^2+b^2=c^2)
  当然，还有一种比较简单的方法名为数格子，这种证明方法所作的图形在后文毕达哥拉斯树（勾股树）会提到。
  
• 分别以(S1),(S2)的边长为直角三角形的斜边，构造等腰三角形。再以构造出的等腰三角形的两条直角边为边长，构建正方形。以此类推。重复若干次后，即可得到毕达哥拉斯树（勾股树）。
  

1.2 勾股定理的定义及其性质

勾股定理，是一个基本的几何定理，中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

• 直角三角形两边的平方和等于斜边的平方。如果用(a,b)和(c)分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么(a^2+b^2=c^2)。

• 几何证明过程 ：

• 如图(2-1):

在(Rt \triangle ABC)中

(\because \angle 1=90°)

$\therefore $ 由勾股定理可得：

(AB^2=AC^2+BC^2).

1.3 勾股逆定理：

如图(2-1), 三角形三边为(a,b,c), 若(a,b,c)满足(a^2+b^2=c^2),

则(\triangle ABC)是直角三角形，(\angle c=90°)。

1.4 勾股数和勾股树

1.4.1 勾股数的认识和应用

• 满足(a^2+b^2=c^2)的三个正整数是勾股数。

如：

  
(3,4,5)
(8,6,10)
(5,12,13)
(15,8,17)
(7,24,25)
(24,10,26)
(21,20,29)
(16,30,34)
(9,40,41)
(35,12,37)
(11,60,61)
(48,14,50)
  

• 知道两个数，求第三个数，使他们成为一对勾股数。

• 例题：已知有两个数为(21,28), 且第三个数大于前两个，求第三个数的值。

速算方法：求出前两个数的最大公约数，把前两个数转化为规模更小的数，再求出第三个数。

例如(21,28)的最大公约数为(7)，让他们分别除以这个最大公约数。求得(3,4)。根据勾股数求出这对数的第三个数为(5)，再乘上文的最大公约数，得(5 \times 7=35),(35)即为第三个数。

• 例题：一对勾股数中已知较大数为(30)，较小数为(18)，求第三个数。

速算方法：逆用平方差公式+快速开根。

解：设第三个数为(x)。

(x^2=30^2+18^2=(30+18)(30-18)=48\times 12=4 \times 12\times 12=2^2\times 12^2).

$x=\sqrt {2^2\times 12^2}=2 \times 12=24 $ .

• 例题：有一组勾股数，已知其中的两个数分别是(17,8), 则第三个数是：

分情况讨论：

解：设第三个数为(x)。

当(x^2+8^2=17^2)时，

解得(x=15).

当(8^2+17^2=x^2)时，解得(x=\sqrt {353}).

(\because)勾股数是正整数

$\therefore $ 舍去

故答案为：(15)。

1.4.2 部分勾股数的规律

• 互质勾股数：(3n,4n,5n).当(n=1)时，勾股数为(3,4,5)；

当(n=2)时，勾股数为(6,8,10)；我们不难看出，由这个生成的勾股数全是互质的。

• 奇数+互质：

(a\geq3,a=2n+1,b=\frac{a^2-1}{2},c=\frac{a^2+1}{2})如(3,4,5);(5,12,13);(7,24,25);(9,40,41)等。

• 通用公式：

(a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2\ (m>n>0)).

如当(m=2,n=1)时，勾股数为(3,4,5)；

当(m=3,n=2)时，勾股数为(5,12,13)；