矢量及其运算

矢量及其运算

矢量是物理学和工程学中一个非常重要的概念，它不仅描述了物理量的大小，还包含了方向信息。本文将系统地介绍矢量的基本概念、线性运算（加法和数乘）、点积、叉积以及混合积等知识点，并通过多个例题进行应用演示。

矢量及其运算

定义0.1(矢量)：有的物理量既有大小也有方向，可以用带箭头的有向线段表示这类物理量，称为矢量。有向线段的长度表示矢量的大小，箭头所指的方向表示矢量的方向。

例如，位移、力、速度、加速度等，它们都是矢量。但电流、功、功率等物理量其实也有方向，它们却不是矢量。电路中某个横截面处的电流只有两种可能的方向；功和功率的方向涉及的是谁对谁做功，也只有两个可能的方向；它们的方向与矢量的方向有着本质的区别。而更为重要的是它们的运算法则与矢量的运算法则完全不同。

矢量的线性运算

矢量的加法

定义1.1(矢量的加法)：将矢量与矢量首尾相接，从矢量的箭尾指向矢量的箭头的有向线段就是它们的和，记为。

矢量的加法运算在物理学中应用广泛。

例如，两个共点力的合力恰是这两个力的矢量和。

物体在相邻两段时间内的位移的矢量和等于这两段时间内的总位移。

选取某个参考点后，物体的位置可以用从指向该物体的有向线段表示，称为物体的位置矢量。在一段时间内物体的初位置矢量与位移之和就是末位置矢量。

如上图所示，在不考虑相对论效应的情况下，物体相对物体的位移(图中)与物体自身的位移(图中)之和就是物体的位移(图中)，即

同理，速度和加速度也满足相同的规律，

矢量的数乘

定义1.2(数乘矢量): 将矢量的长度变为原来的倍，若则方向不变，若则方向倒转，这样得到的矢量称为与的数乘，记为。

矢量的数乘运算在物理学中同样应用广泛。

例如，平均速度就是与位移的数乘；因此，物体在某段时间内的平均速度与它在该段时间内的位移同向。

牛顿第二定律的表达式中，就是质量与加速度的数乘；因此，物体所受合外力与它获得的加速度同向。

匀变速运动的速度时刻关系中，就是与的数乘。

动量就是质量与速度的数乘。

恒力的冲量就是时间与力的数乘。

万有引力定律写成矢量形式为，其中为从施力物体指向受力物体的单位 矢量(单位矢量指大小为 1 的矢量)；万有引力是与的数乘。事实上，任何一个矢量都是它的大小与它所指向的方向的单位矢量的数乘。

电场强度的定义式中，就是与的数乘，其中需要带符号；正试探电荷所受电场力与它所在位置处的电场强度同向，负试探电荷所受电场力与它所在位置处的电场强度反向。

矢量的线性运算的运算律

矢量的加法与数乘运算统称为矢量的线性运算，满足一些重要的运算律。

加法交换律：对于任意两个矢量和, 必有

加法结合律：对于任意三个矢量、和, 必有

零矢量：长度为零的有向线段称为零矢量，记为。

对于任意矢量, 必有

逆矢量：对任意矢量, 存在唯一的矢量，使得

此时，称为的逆，记为。

矢量的逆就是与的数乘，与大小相同，方向相反。

对矢量的分配律：对于任意矢量和，及任意实数，必有

对数的分配律：对于任意矢量, 及任意实数和，必有

数乘结合律：对于任意矢量, 及任意实数和，必有

定义1.3(矢量的减法)：两个矢量的差。

矢量的分解及矢量的坐标表示

在空间中任意给定三个不共面的矢量、和、则空间中的任意矢量必然可以用这三个矢量线性表示出来。即，存在唯一的一组实数、和，使得

其中、、和称为三个基矢-量；若它们都是单位矢量，则实数、和分别称为矢量在这三个基矢量的方向上的分量。

具体的，过矢量的箭头和箭尾分别做平行于三个基矢量两两张成的平面的三个平面；这六个平面截出一个平行六面体；则它与共箭尾的三条棱分别就是、和。

对于二维的问题，所有的矢量都在同一平面内；此时，只需要两个基矢量。求分量时，只需要画平行四边形，而不需要画平行六面体。

定义1.4(矢量的坐标表示)：若在空间中建立右手直角坐标系，三个轴,,方向的单位矢量分别记为, 则任意矢量可以表示为

其中，有序实数组称为矢量的坐标表示；而,,称为矢量分别沿三个坐标轴的分量。

所谓右手系是指将右手四指从轴正方向绕向轴正方向时，右手大拇指正好指向轴正方向的坐标系，如上图所示。

矢量的坐标表示在物理上通常称为正交分解；它使得矢量的线性运算规则可以不依赖几何直观，而直接对分量进行相应的算术运算即可。

利用矢量的线性运算的运算律可知，对于任意矢量：和矢量：，以及任意实数和；矢量的坐标表示为.

矢量的点积

定义2.1(矢量的点积)：两个矢量和的大小及它们的夹角的余弦之积称为与的点积

其中，和分别表示矢量和的大小。

矢量的点积在物理学中的应用也非常广泛。

例如，力的功率是力与力的作用点的速度的点积。

恒力的功是力与力的作用点的位移的点积。

关于矢量的分解，需要给出三个基矢量的方向才谈得上矢量在其中某个基矢量的方向上的分量。给出两组不同基矢量和、、，某个矢量在这两种情况下沿的分量一般是不同的。平时在不给出另外两个基矢量的情况下，提及矢量在某个方向上的分量都默认另外的两个分解方向与它垂直；则这个分量就是与该方向上的单位矢量的点积。

矢量点乘的运算律

矢量的点乘运算满足一些重要的运算律。

交换律：对于任意矢量和，必有

分配律：对于任意矢量、和，必有

与数乘结合律：对于任意矢量和，及任意实数，必有

零矢量：对于任意矢量，必有

交换律、分配律和零矢量的性质显然成立；我们只证明分配律。

首先，若三个矢量、和都共线，很容易证明分配律成立。

其次，可以证明若、垂直而与其中之一共线，则分配律成立。

不防设, 并且不防设与同向，则，而与的夹角就是与的夹角，设为，有；于是。

而

利用与数乘的结合律，可知当与反向时，分配律也成立。

对于一般的情形，将和都沿和垂直分解；则

于是，点乘的分配律成立。

矢量点积的坐标表示

利用矢量的点积的性质，对于任意两个矢量：和：，有

这是矢量的点积的坐标表示形式。

若换一个不同的坐标系，将仍有。

这意味着在任意参考系中， 矢量和的对应分量的乘积之和是相同的；要做到这一点，不同的矢量在坐标变化下应该满足某种统一的坐标变换律。

事实上，物理学中的标量与矢量并不是根据是否有方向定义的，也不是根据其加法的运算法则定义的，而是根据物理量在坐标变化下的变化规律定义的。

在不同坐标系下取值相同的物理量称为标量；坐标变换律与位移微元的坐标变换律相同的物理量称为矢量。

矢量的叉积

定义3.1(矢量的叉积)：两个矢量,的叉积，结果仍为矢量，记为；其大小等于原来两个矢量大小之积乘以它们夹角的正弦值

因此，恰是以为一组邻边的平行四边形的面积。

而，的方向同时垂直于矢量,，且满足右手螺旋关系。

右手螺旋关系：伸出右手竖起大拇指；让右手四指从矢量以不超过的角度绕向矢量；此时，竖起的大拇指所指的方向即为的方向。

也可以右手手形如上图右所示，让大拇指和食指分别指向矢量和矢量；此时，中指指向的方向。

矢量的叉积在物理学中的运用同样很广泛。

例如，刚体做定轴或定点转动时，速度、角速度和位置矢量之间的关系为

如图所示，刚体绕轴转动时，角速度沿轴方向。刚体上任意点绕轴做圆周运动，其速度显然垂直于平面，因而同时垂直于和，且容易验证它们的方向满足右手螺旋关系；于是与同向。

同时，的大小为；其中，恰是与的夹角；故的大小也正是的大小。

综上所示，有。

此外，在刚体运动学中，矢量的叉乘还有着很多其它的应用；叉乘运算的引入大大简化了刚体运动的描述与研究。

在电磁学中，电流元在磁场中所受安培力，及运动电荷在磁场中所受洛伦兹力也可以用矢量的叉乘表示

一小段导体在磁场中运动时，自由电荷沿导体从一端运动到另一端的过程，洛伦兹力的沿棒分量做的功为，产生的动生电动势为

以从负极指向正极时，电动势为正。

电流产生磁场的规律称为毕奥-萨伐尔定律。

真空中，通以电流的一小段导线产生的磁场在某处的磁感应强度为

其中，为从该段导线指向该点的矢量，为它的大小；而为真空磁导率。

即，电流元产生的磁场在某点处的磁感应强度同时垂直于该电流元的方向以及该电流元所在位置与该点连线的方向，且大小为。

力矩和角动量的定义也用到了矢量叉乘。

某个力的力矩为它的作用点的位置矢量与该力的叉积。

质点的角动量为它的位置矢量与它的动量的叉积。

矢量叉乘的运算律

矢量的叉乘运算满足一些重要的运算律。

反交换律：对于任意矢量和，必有

与数乘的关系：对于任意矢量和，及任意实数，必有

分配律：对于任意矢量、和，必有

零矢量：对于任意矢量，有

对于任意两个共线的矢量和，有

除分配律外，其它几个规律是很明显的，接下来我们证明分配律。

首先，若三个矢量共面，则的方向都垂直于该平面。设垂直于该平面向外的单位矢量为, 则

其中，的取值范围是；表示从以不超过的转角转到所转过的弧度，且顺时针为正，逆时针为负；的符号规定类此。

另一方面，如图所示，有

于是，有；即， 三个矢量共面时，分配律成立。

若两两垂直，如图下所示为所在平面，设垂直该平面向外。则有,和分别如图。

图中，故；于是，有，从而。

又，故，即，与垂直，且容易验证、与满足右手螺旋关系，故与同向。

另由可得， 即

后一等号是因为与垂直。

综上所述，与的大小和方向都相同，它们相等，分配律成立。

对于一般的情况，将沿和垂直的方向分解，将沿、和同时垂直于与的方向分解，则

证毕。

矢量叉积的坐标表示

建立右手直角坐标系，分别将沿,,三个轴的正方向的单位矢量记为；则在右手系中显然有如下关系

设，则

如图所示，将三个基矢量与、的对应分量列成矩阵；求的某个分量时，先在第一行找到相应的基矢量，再找到该基矢量右下方的矩形，该矩形两条对角线上的元素之积作差就是的相应分量。

矢量的混合积

两个矢量,叉乘再与第三个矢量点乘，得到的结果是一个标量，称为它们的混合积。

混合积的绝对值等于以,,为一组邻棱的平行六面体的体积。

如图所示，有

若与成锐角或同向时，取正号；成钝角或反向时，取负号。

也即右手成如下图所示的手形，若大拇指、食指、中指可以分别指向矢量,,，则取正号；否则取负号。

若三个矢量共面，则它们的混合积为零；反之，若三个矢量的混合积为零，则它们必共面。

矢量连续叉乘

矢量的连续叉乘不满足结合律，对于任意三个矢量、和，有

首先证明一些特殊情形。

若共线，设，则；而

故。

若同时垂直于，则与共线，故；而

故。

若且， 设，则。

而且，故。

同时垂直于和，而也同时垂直于和；另由右手螺旋关系容易验证与同向。故, 即

而。

故。

同理，若且；也有。

对于的一般情形，将在,和方向上的分量分别记为和，则

对于一般情况，将沿和垂直于的方向分解，两个分量分别记为,，则

证毕。

例题

【例题】设三个矢量不共面，则任意矢量可表示为。 试求,的值。

解析：将的两边同时点乘，则

于是，有。

同理，有，

由混合积的性质，三式的分母是相等的，于是

此外，的是三个分量方程给出了,所满足的三个方程，也可以用解方程组的方法得到这三个常数。

【例题】一个重为的物体用三根绳悬挂在天花板上；物体在右手系的坐标原点，三根绳在天花板上的固定点坐标分别为、、. 求三根绳的拉力。

解析：三个绳的方向矢量分别为；三根绳的拉力与物体的重力平衡，它们的合力大小为, 方向竖直向上，于是

而

于是，三绳拉力分别为

【例题】在右手直角坐标系中，某时刻绕原点做定点转动的刚体上两个点、的坐标分别为和；速度分别为和. 求此时刚体的瞬时转轴的方程。

解析：刚体做定点转动，故，；于是，同时垂直于和。

角速度与它共线，故；其中，的绝对值等于角速度的大小。

于是，转轴的方程为。

将代回可得，故。

【例题】在右手直角坐标系中，某时刻绕某点做定点转动的刚体上两个点、的坐标分别 为和；速度分别为和. 求此时刚体的转轴的方程。

解析：设转动中心为，则，；仍有同时垂直于和。

角速度与它共线，故；其中，的绝对值等于角速度的大小。

而，故，而。

转轴上任意点的速度为零，故，即

将的坐标代入可得。

第一个方程可以由后两个方程消去得到，故转轴方程为。