线性代数第21讲：线性方程组相关问题类型及其求解思路与方法

线性代数第21讲：线性方程组相关问题类型及其求解思路与方法

线性方程组是线性代数的核心研究对象，其理论与方法在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。本文通过一系列典型例题的分析与求解，深入探讨了线性方程组的解的判定、带参数方程组的解、向量的线性表示、两个方程组解的关系以及基础解系的求解与判定等核心内容。

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线性方程组是线性代数的主要研究对象，线性代数课程的内容基本上也是围绕线性方程组的求解而展开的，矩阵和向量为线性方程组的研究提供了有力、有效的工具；反过来也可以看到，线性方程组理论的发展也有助于我们更好地理解、掌握矩阵、向量相关的理论与方法，在一定程度上也促进和拓广了它们的进一步发展。

本讲的主要任务是通过一些典型例题的分析与求解，加深对线性方程组求解、解的结构性质的理解和掌握，同时通过综合性的问题的求解，提高线性方程组、矩阵、向量、行列式之间联系的认识和进一步加深行列式、矩阵和向量相关理论与方法的理解。

一、线性方程组解的判定与行列式

例1已知线性方程组
有解，其中为常数. 若
试求的值（结果中不包括）.

【解】:【法 1】首先由可得
即. 解得或. 当时，对非齐次线性方程组的系数增广矩阵施行行的初等变换，有
要方程组有解，则必有. 代入所求行列式，得
当时，则有
则方程组有解，则必有无解. 故当且仅当满足题意并求得行列式的值为 8 .

【法 2】记非齐次线性方程组的增广矩阵为
由非齐次线性方程组有解的判定条件
由于为未知数的数量，从而可知增广矩阵的秩
从而可知。于是将按照第 4 列展开，并由，得
解得.

【法3】由于，从而可知方程组的系数矩阵的前三行线性无关，再根据 方程组有解，这样第四个方程可由前面三个方程线性表示. 又由于右边系数为 2 ，所以其线性组合表达式应该为
也即有. 于是由行列式的拆分性质，得

例 2设有线性方程组
(1) 证明: 若两两不相等，则此线性方程组无解；
(2) 设，且已知是该方程组的两个解，其中
写出此方程组的通解.

【解】：(1)题中方程组的增广矩阵为
它是一个方阵，且它对应的行列式是一个范德蒙行列式，故由范德蒙行列式的结果，可知行列式
由两两不相等可知，从而可知矩阵的秩. 但方程组是一个关于 3 个变量四个方程的方程组，如果方程组有解，必有
由于，所以原方程组不可能有解，即当两两不相等，则此线性方程组无解.

(2)当时，则原方程组与方程组
同解. 因
所以该方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩
其中 3 是未知数个数. 所以方程组有无穷多个解，且其导出方程组的基础解系包含向量个数为
个. 又是原非齐次线性方程组的两个解，故由解的结构性质知，
是导出齐次线性方程组的解. 又，则是导出方程组的基础解系，于是由非齐次线性方程组的解的叠加原理，得原非齐次方程组的通解为
其中为任意常数.

二、带参数方程组解的判定与求解

例 3问为何值时，线性方程组
有唯一解? 无解? 有无穷多组解? 并求出唯一解时的解和有无穷多解时的通解.

【解】：对方程组的增广矩阵作初等行变换化为阶梯形，有
由非齐次线性方程组解存在性的判定，有
（1）当时，（未知量的个数），此时方程组有唯一解。对上式的阶梯形增广矩阵继续实施行的初等变换化为最简阶梯形，有
故得方程组的唯一解为

（2）当时，上面第一次增广矩阵行初等变换得到的阶梯形为
如果，即，则
故方程组无解；而当，即时，
其中 4 是未知量个数，此时方程组有无穷多解. 上面的增广矩阵的阶梯形为
故原方程的同解方程组为
取为基本末知数，为自由未知数，令，可得，即方程组有特解. 同解方程组的导出齐次线性方程组为
令分别代入上面的导出方程组，得基础解系为
原方程组的通解为
其中为任意常数.

三、向量的线性表示与向量组的线性相关性

例 4设有向量组
问取何值时，
(1) 可由线性表示，且表达式唯一？
(2) 可由线性表示，且表达式不唯一？
(3)不能由线性表示?

【解】：设可由线性表示，且可表示为
记，即由为列向量的矩阵，则是否可由线性表示转换为考察非齐次线性方程组，即
是否有解. 对方程组的增广矩阵施行初等行变换，有
(1) 若且，
方程组有唯一解，即可由唯一地线性表示.

(2) 若，
方程组有无穷多个解，可由线性表示，且表达式不唯一。

(3) 若，则方程组的增广矩阵初等变换后的阶梯形矩阵为
故，故方程组无解，所以不能由线性表示.

例 5设是维实向量，且线性无关. 己知是齐次线性方程组
的非零解向量. 试判断向量组的线性相关性.

【解】：设有一组数，使得
因为是线性方程组
的非零解向量，所以
即。在 (*) 两端左乘，得
将代入，得. 由于为非零解向量，故，从而可知. 代入式得
由于向量组线性无关，所以
即. 因此向量组线性无关.

四、两个方程组解的关系

例 6设四元齐次线性方程组为
又已知某线性齐次方程组 () 的通解为
(1) 求线性方程组的基础解系.
(2) 问线性方程组（）及（）是否有非零公共解？若有，求出所有的非零公共解；若没有，说明理由.

【解】：(1）方程组（）的系数矩阵为
则，方程组有无穷多解，并且可知其基础解系包含的向量个数为
取为基本末知数，为自由末知数，分别令代入方程组，可得其基础解系为

(2)方程组（）和（）有非零公共解，将（）的通解
代入方程组得
整理可得. 即当时，向量
就是与的非零公共解.

例 7已知下列非齐次线性方程组（I）和（II），
(1) 求解方程组（），用其导出组的基础解系表示通解；
(2) 当方程组（）中的参数为何值时，方程组（）与（）同解。

【解】：（1）设方程组（）的系数矩阵为，增广矩阵为，对作初等行变换，有
从上式可知，所以方程组有无穷多解，并可得其同解非齐次线性方程组的导出齐次线性方程组为
取为基本末知数，为自由末知数，取，得导出组的基础解系为
取，代入同解非齐次线性方程组
得其特解为，所以由非齐次线性方程组解的叠加原理知原方程的通解为
其中为任意常数.

(2)将方程组（）的通解表达式
代入（)的第一个方程，得
解得. 代入的第二个方程，得
解得. 代入的第三个方程，得
解得. 因此，方程组(II) 的参数为， 此时方程组（I)的全部解都是方程组 (II)的解，此时方程组 (II) 为
对其增广矩阵为施以初等行变换，有
于是可得方程组(II)的通解为
其中为任意常数. 比较两个方程组的同解表达式可知方程组 () 与() 同解.

五、基础解系的求解与判定

例 8设为线性方程组的一个基础解系，
其中为实常数. 试问满足什么条件时，也为的一个基础解系。

【解】：由于均为的线性组合，又为线性方程组的一个基础解系，故它们都是的解，所以由齐次线性方程组解的结构性质知，都是线性方程组的解。

下面证明线性无关. 设
则
整理得
由于线性无关，因此其系数全为零，即
该方程组的系数行列式
要线性无关，则该方程组只有零解，故方程组的系数行列式不等于零，也即
于是：当为偶数时，；当为奇数，；即当满足这样的条件时，必有，因此向量组线性无关. 于是由基础解系的定义知也为的一个基础解系。

例 9设是 4 阶矩阵，为的伴随矩阵，若是方程组的一个基础解系，则的基础解系可为（）
(A)(B)
(C)(D)

【解】：由是方程组的一个基础解系，所以， 从而可知，则的基础解系包含有 3 个线性无关的向量. 因为
所以的列向量组是的解向量组. 又
从而可知线性相关. 于是由可知必线性无关，所以它们构成的一个基础解系，所以正确选项应该为【D】。

练习题

1、选择题:

(1)齐次线性方程组仅有零解的充要条件是（）。
(A)的列向量组线性无关
(B)的行向量组线性无关
(C)的列向量组线性相关
(D)的行向量组线性相关

(2)非齐次线性方程组有解的充要条件是（）。
(A)的列向量组线性无关
(B)的列向量组线性相关
(C)可由的列向量组线性表示
(D) 以上都不对

(3)非齐次线性方程组中末知量个数为，方程个数为，系数矩阵的秩为，则。
(A)时，方程组有解
(B)时，方程组有唯一解
(C)时，方程组有唯一解
(D)时，方程组有无穷解

(4)设阶矩阵的伴随矩阵，若是非齐次线性方程组的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系（）
(A) 不存在
(B) 仅含一个非零解向量
(C) 含有两个线性无关的解向量
(D) 含有三个线性无关的解向量

(5)设为四阶矩阵，为的伴随矩阵，若线性方程组的基础解系中只有 2 个向量，则的秩是()
(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3

(6)设均为阶矩阵，为单位矩阵，如果方程组和同解，则()
(A) 方程组只有零解
(B) 方程组只有零解
(C) 方程组与同解
(D) 方程组与同解

2、设，
试求线性方程组的解.

3、已知三阶矩阵的第一行是不全为零，矩阵
且，求线性方程组的通解.

4、设向量组
试问：当满足什么条件时，
(1) 可由线性表出，且表示唯一？
(2) 不可由线性表出?
(3)可由线性表出，但表示不唯一? 并求出一般表达式.

5、设是矩阵，是矩阵，其中是阶单位矩阵，若证明的列向量组线性无关.

6、设是齐次线性方程组的一个基础解系，证明
也是该方程组的一个基础解系。

7、设四元齐次方程组
且已知另一四元齐次线性方程组的一个基础解系为
(1) 求方程组的一个基础解系;
(2) 当为何值时，方程组与有非零公共解? 在有非零公共解时，求出全部非零公共解.

8、已知齐次线性方程组
同解，求的值.

9、设元线性方程组，其中
（1）证明行列式；
（2）当为何值时，该方程组有惟一解，并求.
（3）当为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解。

10、设为非零常数，试讨论为何值时，齐次线性方程组
只有零解、有无穷多组解? 在有无穷多解时，求全部解，并用基础解系表示全部解.